Τα περισσότερα προβλήματα του φυσικού κόσμου οδηγούν σε μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες συνήθως δεν διαθέτουν ακριβείς λύσεις. Για το λόγο αυτό καταφεύγουμε στον προσδιορισμό προσεγγιστικών λύσεων, είτε με αριθμητικές, είτε με αναλυτικές μεθόδους, ή με συνδυασμό των δύο. Οι σημαντικότερες αναλυτικές προσεγγίσεις είναι οι μέθοδοι διαταραχών, οι οποίες βασίζονται στην ύπαρξη μιας μικρής παραμέτρου στο πρόβλημα, το οποίο καθίσταται επιλύσιμο όταν η παράμετρος αυτή μηδενιστεί. 

Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται μέθοδοι διαταραχών για μη γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, με έμφαση σε εξισώσεις δεύτερης τάξης που περιγράφουν ταλαντωτικά συστήματα. 

Στο εισαγωγικό πρώτο κεφάλαιο εισάγονται οι βασικές έννοιες των μεθόδων διαταραχών. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναπτύσσεται η μέθοδος των κανονικών διαταραχών και εφαρμόζεται σε γραμμικά και μη γραμμικά, αυτόνομα και εξαναγκασμένα συστήματα. Εξετάζεται ειδικότερα το πρόβλημα του απλού εκκρεμούς και η προσέγγισή του μέσω της εξίσωσης Duffing, ενώ αναλύονται και φαινόμενα συντονισμού. Επιπλέον, για τον προσδιορισμό λύσεων, παρουσιάζονται τεχνικές όπως η μέθοδος πλάτους-φάσης και οι αναπτύξεις σε σειρές Fourier. Τέλος, στο πλαίσιο της θεωρίας των δυναμικών συστημάτων, η μέθοδος εφαρμόζεται στην προσέγγιση ομοκλινικών διακλαδώσεων.

Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται μέθοδοι ιδιόμορφων διαταραχών για την κατασκευή ομοιόμορφων προσεγγιστικών λύσεων. Συγκεκριμένα, εξετάζονται η μέθοδος Poincaré–Lindstedt, η μέθοδος ανακανονικοποίησης, οι μέθοδοι Lighthill και Temple, η μέθοδος πολλαπλών κλιμάκων, οι μέθοδοι μεσοστάθμισης και Krylov–Bogoliubov–Mitropolski, καθώς και η μέθοδος οριακού στρώματος. Η τελευταία εφαρμόζεται τόσο σε συστήματα διαφορικών εξισώσεων, όσο και στην προσέγγιση τροχιών που καταλήγουν σε κόμβο.

Στο τέταρτο κεφάλαιο, εφαρμόζοντας μεθόδους διαταραχών, αναζητάμε δευτερεύοντες συντονισμούς στην εξίσωση Duffing με και χωρίς απόσβεση, και στο πέμπτο κεφάλαιο μελετάται η εξίσωση van der Pol. Αρχικά εξετάζεται η αυτόνομη μορφή της και η προσέγγιση του οριακού κύκλου, ενώ στη συνέχεια αναλύεται η εξαναγκασμένη μορφή της, όπου προσεγγίζονται περιοδικές λύσεις κοντά στον κύριο συντονισμό. Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζονται ορισμένες σύγχρονες εφαρμογές των εξισώσεων Duffing και van der Pol. Σε όλα τα προβλήματα που εξετάζονται, οι προσεγγιστικές λύσεις υλοποιούνται και επαληθεύονται με τη χρήση του Mathematica. Παράλληλα, πραγματοποιείται αριθμητική επίλυση των αντίστοιχων προβλημάτων, ώστε να καταστεί δυνατή η σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων με τις προσεγγιστικές αναλυτικές λύσεις. Ενδεικτικοί κώδικες Mathematica παρατίθενται στο Παράρτημα, όπου παρουσιάζεται επίσης μελέτη γραμμικής ταλάντωσης ως σημείο αναφοράς για τη σύγκριση με τα μη γραμμικά αποτελέσματα.

Most problems arising in the physical world lead to nonlinear differential equations, which generally do not admit exact solutions. For this reason, one resorts to the determination of approximate solutions, either through numerical or analytical methods, or a combination of both. The most important analytical approximations are perturbation methods, which rely on the existence of a small parameter in the problem, rendering it solvable in the limiting case where this parameter vanishes.

This thesis presents perturbation methods for nonlinear ordinary differential equations, with emphasis on second-order equations describing oscillatory systems. In the introductory first chapter, the basic concepts of perturbation methods are introduced. The second chapter develops the method of regular perturbations and applies it to linear and nonlinear autonomous and forced systems. Special attention is given to the simple pendulum problem and its approximation via the Duffing equation, where resonance phenomena are analyzed. Furthermore, in order to determine periodic solutions, specialized techniques such as the amplitude–phase method and Fourier series expansions are presented. Finally, within the framework of dynamical systems theory, the method is applied to the approximation of homoclinic bifurcations.

The third chapter presents singular perturbation methods for constructing uniformly valid approximate solutions. In particular, the Poincaré–Lindstedt method, the renormalization method, the Lighthill and Temple methods, the multiple scales method, the averaging and Krylov–Bogoliubov–Mitropolski methods, and the boundary layer method are examined. The latter is applied both to systems of differential equations and to the approximation of trajectories approaching a node.

In the fourth chapter, perturbation methods are used to investigate secondary resonances in the Duffing equation, both with and without damping. The fifth chapter studies the van der Pol equation. Initially, its autonomous form and the approximation of the limit cycle are examined, followed by the forced case, where periodic solutions near the primary resonance are analyzed. Finally, the sixth chapter presents selected modern applications of the Duffing and van der Pol equations. In all problems considered, the approximate solutions are implemented and validated using Mathematica. In parallel, numerical solutions are obtained in order to compare the numerical results with the corresponding analytical approximations. Representative Mathematica codes are included in the Appendix, where a study of linear oscillations is also presented as a reference for comparison with the nonlinear results.