Η παρούσα διπλωματική εργασία μελετά τη μετάβαση από το κλασικό υπόδειγμα Black-Scholes προς ένα μη γραμμικό κυματικό πλαίσιο τιμολόγησης, βασισμένο στην προσαρμοστική μη γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS) του Vladimir G. Ivancevic. Αρχικά παρουσιάζονται οι βασικές υποθέσεις και η εξαγωγή της εξίσωσης Black-Scholes, οι τύποι κλειστής μορφής για ευρωπαϊκά δικαιώματα προαίρεσης και οι κύριοι περιορισμοί του υποδείγματος. Στη συνέχεια αναλύεται το προσαρμοστικό κυματικό μοντέλο και διευκρινίζεται ότι αποτελεί περιγραφικό υπόδειγμα δυναμικής και όχι υπόδειγμα αποτίμησης χωρίς αρμπιτράζ. Το κύριο μαθηματικό μέρος της εργασίας βασίζεται σε ansatz οδεύοντος κύματος, μέσω του οποίου η NLS ανάγεται σε εξίσωση Duffing. Η φασική ανάλυση του μηχανικού αναλόγου συνδέει τη λύση φωτεινού σολιτονίου sech με ομοκλινική τροχιά και τη λύση σκοτεινού σολιτονίου tanh με ετεροκλινική τροχιά. Πέρα από τις δύο διαχωριστικές λύσεις, κατασκευάζονται και ταξινομούνται οι περιοδικές οικογένειες cn, sn και dn με χρήση των ελλειπτικών συναρτήσεων Jacobi, ενώ ελέγχεται η μετάβασή τους στα αντίστοιχα σολιτονικά ή σταθερά όρια. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στο πρόσημο του προσαρμοστικού δυναμικού β, στην ερμηνεία του ελλειπτικού μέτρου m μέσα σε κάθε δυναμικό κλάδο και στη χαρακτηριστική περίοδο 2K(m)/p των περιοδικών προφίλ. Τέλος, διερευνώνται οι δυνατές χρηματοοικονομικές ερμηνείες των λύσεων, μαζί με τους περιορισμούς τους: η κανονικοποίηση του |ψ|², η διάκριση του συντελεστή διασποράς της NLS από τη μεταβλητότητα του Black-Scholes, η απουσία εμπειρικής βαθμονόμησης και τα γνωστά ζητήματα ευστάθειας. Στόχος της εργασίας δεν είναι η πρόταση ενός έτοιμου εργαλείου αποτίμησης, αλλά η μαθηματική κατανόηση της δομής, των οικογενειών λύσεων και των ορίων του μη γραμμικού κυματικού υποδείγματος.

This master's thesis studies the transition from the classical Black-Scholes framework to a nonlinear wave-based option-pricing model founded on Vladimir G. Ivancevic's adaptive nonlinear Schrödinger equation (NLS). The first part reviews the main assumptions and derivation of the Black - Scholes equation, the closed-form formulas for European options, and the principal limitations of the classical model. The adaptive wave model is then introduced, with an explicit distinction between a descriptive dynamical model and a no-arbitrage pricing model. The main mathematical part uses a travelling-wave ansatz to reduce the NLS equation to a Duffing equation. Phase-plane analysis of the associated mechanical system identifies the bright sech soliton with a homoclinic orbit and the dark tanh soliton with a heteroclinic orbit. Beyond these separatrix solutions, the periodic cn, sn, and dn families are derived and classified in terms of Jacobi elliptic functions, and their limiting behavior is checked against the corresponding solitary-wave or equilibrium states. Particular attention is paid to the sign of the adaptive market potential β, to the interpretation of the elliptic modulus m within each dynamical branch, and to the characteristic period 2K(m)/p of the periodic profiles. The final part examines possible financial interpretations of the solutions while making their limitations explicit. These include the normalization of |ψ|², the distinction between the NLS dispersion coefficient and Black-Scholes volatility, the absence of empirical calibration, and known stability issues. The aim is not to propose a ready-to-use pricing method, but to clarify the mathematical structure, solution families, and applicability limits of the nonlinear wave model.