Η παρούσα διδακτορική διατριβή επικεντρώνεται στη μαθηματική μοντελοποίηση των βιοηλεκτρικών δυναμικών που παράγονται από τη νευρωνική δραστηριότητα στον ανθρώπινο εγκέφαλο, στο πλαίσιο της μελέτης του ευθέος προβλήματος της ηλεκτροεγκεφαλογραφίας (ΗΕΓ).

Αρχικά, μελετάται ένα πολυστρωματικό σφαιρικό μοντέλο κεφαλής αποτελούμενο από τέσσερις ομόκεντρες περιοχές (χωρία). Ο εσωτερικός πυρήνας αντιστοιχεί στον εγκεφαλικό ιστό, ο οποίος περιβάλλεται από τρία διαδοχικά στρώματα: το εγκεφαλονωτιαίο υγρό (ΕΝΥ), το κρανίο και το δέρμα της κεφαλής. Τα μέσα αυτά θεωρούνται ηλεκτρικά ανισότροπα, με διακριτές τιμές για την ακτινική και την εφαπτομενική αγωγιμότητα, οι οποίες περιγράφονται μέσω τανυστών αγωγιμότητας. Με αφετηρία την εξίσωση Poisson και για διπολική πηγή ρεύματος στο εσωτερικό του εγκεφαλικού ιστού, αναπτύσσονται αναλυτικές εκφράσεις για το ηλεκτρικό δυναμικό σε κάθε χωρίο. Επιβάλλοντας τις κατάλληλες συνθήκες διαπερατότητας στα όρια μεταξύ των επιμέρους στρωμάτων, υπολογίζονται οι συντελεστές των αναπτύξεων αυτών, ώστε το πρόβλημα να οδηγεί σε μοναδική λύση.

Επιπλέον, εξετάζεται η περίπτωση ενός ομογενούς ανισότροπου μέσου, με στόχο την κατανόηση της επίδρασης της ανισοτροπίας στη χωρική κατανομή του ηλεκτρικού δυναμικού. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με τα αντίστοιχα ισότροπα μοντέλα, τα οποία προκύπτουν ως ειδική περίπτωση του παρόντος μοντέλου, αναδεικνύοντας τις διαφοροποιήσεις που προκύπτουν λόγω της κατευθυντικής εξάρτησης της αγωγιμότητας καθώς και τη σημαντική μείωση του πλάτους των επιφανειακών δυναμικών όταν λαμβάνεται υπόψη η ανισοτροπία.

Η διατριβή αυτή επεκτείνει τις υπάρχουσες αναλυτικές μεθόδους για την επίλυση του ευθέος προβλήματος της ΗΕΓ σε πολυστρωματικά ανισότροπα σφαιρικά μοντέλα. Οι αναλυτικές εκφράσεις που προκύπτουν παρέχουν ένα θεωρητικό πλαίσιο αναφοράς για τη σύγκριση με ισότροπες προσεγγίσεις, καθώς και για την επαλήθευση αριθμητικών μεθόδων, όπως, η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) και η μέθοδος συνοριακών στοιχείων (BEM).

This doctoral dissertation focuses on the mathematical modeling of the bioelectric potentials generated by neuronal activity in the human brain, within the framework of the electroencephalography (EEG) forward problem.

A multilayer spherical head model consisting of four concentric regions is considered. The innermost region corresponds to the brain tissue and is surrounded by three successive layers representing the cerebrospinal fluid (CSF), the skull, and the scalp. These media are assumed to be electrically anisotropic, with distinct radial and tangential conductivity values described by conductivity tensors. Starting from the Poisson equation and considering a dipolar current source located within the brain tissue, analytical solutions for the electric potential are derived in each domain. By imposing the appropriate transmission conditions at the interfaces between adjacent layers, the coefficients of these expansions are determined, so that the problem admits a unique solution.

In addition, the case of a homogeneous anisotropic medium is examined in order to investigate the effect of anisotropy on the spatial distribution of the electric potential. The results are compared with the corresponding isotropic models, which arise as a special case of the present formulation, highlighting the differences introduced by the directional dependence of conductivity, as well as the significant reduction in the amplitude of the surface potentials when anisotropy is taken into account.

This dissertation extends existing analytical solutions of the EEG forward problem to multilayer anisotropic spherical head models. The analytical expressions derived in this study provide a theoretical reference framework for comparison with isotropic approaches and with numerical methods such as the finite element method (FEM) and the boundary element method (BEM).