Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάται η μέθοδος συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων σε προβλήματα συνοριακών τιμών της γραμμικής ελαστικότητας.
Πρώτος στόχος της εργασίας αποτελεί η παρουσίαση μεικτών προβλημάτων συνοριακών τιμών που μοντελοποιούν μαθηματικά προβλήματα σκέδασης ελαστικών κυμάτων σχετικά με την εξίσωση Navier. Ο σκεδαστής μας θεωρείται ότι βρίσκεται μέσα σε ένα ισότροπο και ομογενές ελαστικό μέσο, είναι μερικώς επικαλυμμένος με λείο σύνορο πάνω στον οποίο ικανοποιούνται μεικτές συνοριακές συνθήκες τύπου Robin.
Επίσης, στόχος της παρούσας εργασίας αποτελεί η εφαρμογή της μεθόδου των συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων για αποτελέσματα ύπαρξης λύσεων καθώς και για αποτελέσματα ομαλότητας αυτών. Συγκεκριμένα, η μέθοδος βασίζεται στην έκφραση της λύσης ως υπέρθεσης ενός γραμμικού συνδυασμού απλού και διπλού στρώματος δυναμικού, χρησιμοποιώντας κατάλληλες L²-συναρτήσεις-πυκνότητες, οδηγώντας σε κατάλληλες ολοκληρωτικές εξισώσεις. Αποδεικνύεται ότι η λύση μας ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος, θεμελιώνεται η μοναδικότητα της λύσης και τέλος δίνονται χρήσιμες παρατηρήσεις και συμπεράσματα.

This thesis investigates the method of boundary integral equations in the context of boundary value problems arising in linear elasticity.
The primary objective is the formulation and analysis of mixed boundary value problems that mathematically model elastic wave scattering phenomena governed by the Navier equations. The scatterer is assumed to reside within an isotropic and homogeneous elastic medium and is partially coated with a smooth boundary on which mixed boundary conditions of Robin type are imposed.
Furthermore, the thesis aims to implement the boundary integral equation method to establish results concerning the existence and regularity of solutions. The approach is based on representing the solution as a linear combination of single-layer and double-layer potential operators, involving appropriate L²−density-functions. This leads to the derivation of corresponding boundary integral equations. It is rigorously demonstrated that the constructed solution satisfies the prescribed boundary conditions of the original problem, the uniqueness of the solution is established, and concluding remarks and observations are provided.