Η εύρεση οριακών κύκλων και κλειστών τροχιών έχει απασχολήσει την μαθηματική κοινότητα ανά τα χρόνια. Στην παρούσα εργασία βασιζόμενοι κυρίως στο θεώρημα Poincare - Bendixson κάνουμε έρευνα για την εύρεση του. Συμπληρωματικά αναφερόμαστε στις διακλαδώσεις Hopf και στις κατηγορίες τους. Με την χρήση του Mathematica κάνουμε έρευνα για οριακούς κύκλους και κλειστές τροχιές σε δυο βιολογικές εφαρμογές και μια απο την οικονομία.