Στη παρούσα διπλωματική εργασία, αρχικά παρουσιάζουμε εν συντομία την κατάσταση που επικρατούσε στα Μαθηματικά πριν την εμφάνιση της μαθηματικής απόδειξης τον 6^ο αιώνα π.Χ. από τους Αρχαίους Έλληνες και τον Θαλή.

Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τις σημαντικότερες εξελίξεις στα μαθηματικά που ακολούθησαν την εμφάνιση της μαθηματικής απόδειξης. Δηλαδή, την αξιωματική θεμελίωση της Γεωμετρίας από τον Ευκλείδη, τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και τα τυπικά αξιωματικά συστήματα.

Στις μαθηματικές αποδείξεις υποσυνείδητα πολλές φορές, γίνεται χρήση κάποιων κανόνων της λογικής. Τους κυριότερους από τους κανόνες της προτασιακής και κατηγορηματικής λογικής αναφέρουμε στο 4^ο κεφάλαιο.

Στο 5^ο κεφάλαιο, αναλύουμε τις σημαντικότερες μεθόδους μαθηματικής απόδειξης.

Τέλος, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι στη διδασκαλία των Μαθηματικών η απόδειξη δεν πρέπει να παρουσιάζεται ως ένα τελικό προϊόν, αλλά ως μέρος μιας διδακτικής πορείας η οποία περιλαμβάνει επίσης εικασίες, αντιπαραδείγματα και αναθεωρήσεις.

In the present thesis, we firstly present briefly the situation that prevailed in Mathematics before the appearance of mathematical proof in the 6th century B.C. by the Ancient Greeks and Thales.

Then we present the most important developmental phases in mathematics that followed the appearance of mathematical proof. That is, Euclid's axiomatic foundation of Geometry, non-Euclidean geometries and formal axiomatic systems.

In mathematical proofs some rules of logic are used, most of the time subconsciously. We mention the main rules of propositional and predicate logic in the 4th chapter.

In chapter 5, we analyze the most important methods of mathematical proof.

Finally, we conclude that in teaching Mathematics the proof should not be presented as a final product, but as part of a teaching process which also includes conjectures, counterexamples and revisions.