Η παρούσα διπλωματική εργασία αναλύει τις βασικές έννοιες και τις ιδιότητες
των καμπύλων και των επιφανειών. Αρχικά, θα γίνει εισαγωγή στην έννοια των
καμπυλών και θα εξεταστούν κάποιοι βασικοί όροι, όπως η παραμέτρηση ως προς το
μήκος τόξου, η καμπυλότητα και το τρίεδρο Frenet. Στη συνέχεια, όσον αφορά τις
επιφάνειες θα αναλυθούν οι ορισμοί και οι ιδιότητες των επιφανειών, το εφαπτόμενο
επίπεδο, η απεικόνιση Gauss και η μέση καμπυλότητα. Έπειτα, θα αναφερθεί η
εξίσωσή του σολιτονίου, ενώ θα εξεταστούν οι ειδικές περιπτώσεις λύσεων αυτής
θέτοντας συγκεκριμένες γεωμετρικές συνθήκες, αλλά και θεωρώντας λύση της
μορφής χωριζομένων μεταβλητών.

The present thesis analyzes the basic concepts and properties of curves and
surfaces. Initially, an introduction to the concept of curves will be provided, examining
some basic terms such as parameterization with respect to arc length, curvature, and
the Frenet frame. Subsequently, concerning surfaces, the definitions and properties of
surfaces will be analyzed, including the tangent plane, the Gauss mapping, and the
mean curvature. Then, the soliton equation will be addressed, investigating specific
cases of its solutions by imposing geometric conditions and considering solutions of
the form of separated variables.