Στην παρούσα εργασία γίνεται μία μελέτη διαφόρων τύπων διακριτών συστημάτων αναπαραστάσεων σε απειροδιάστατους χώρους. Αρχικά παρουσιάζουμε τις βάσεις Schauder σε χώρους Banach και διερευνούμε τις ιδιότητες τους στις άπειρες διαστάσεις. Έπειτα μελετούμε τις ορθοκανονικές βάσεις, τις βάσεις Riesz και τέλος τα πλαίσια (frames) σε χώρους Hilbert τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων και αναπτύσσουμε μεθόδους κατασκευής τέτοιων συστημάτων στην Ανάλυση Fourier και στην Ανάλυση Χρόνου-Συχνότητας, όπως είναι η Πολυδιακριτή Ανάλυση, μέσω γεννητόρων συναρτήσεων και κατάλληλων τελεστών, ενδεικτικά αναφέροντας τους τελεστές διαστολής, μετάθεσης και διαμόρφωσης. Διερευνούμε τα χαρακτηριστικά καθενός από αυτά κάνοντας χρήση βασικών μετασχηματισμών (π.χ. Fourier, Zak)  και αναδεικνύουμε τα  πλεονεκτήματα και τους περιορισμούς αυτών στην εφαρμογή τόσο στην Ανάλυση Fourier όσο και στην Ανάλυση Χρόνου-Συχνότητας, όσον αφορά  την ύπαρξη( Εικασία Fuglede), την απλότητα της αναπαράστασης, τη μοναδικότητα της αναπαράστασης, τη σχεδιαστική ευελιξία και την επίτευξη ικανής τοπικοποίησης ταυτόχρονα στο χρόνο και τη συχνότητα (Θεώρημα Balian-Low) του κάθε συστήματος αναπαράστασης.  Εν τέλει παρουσιάζουμε μία συγκριτική αξιολόγηση μεταξύ τους με απώτερο στόχο την εφαρμογή σε τεχνολογικούς τομείς όπως είναι η επεξεργασία σήματος και άλλοι. 

In this study we examine eminent types of discrete representation systems in infinite dimensional spaces. Firstly we present Schauder bases in Banach spaces and we demonstrate their properties in non finite dimensions. Consequently we delve into orthomormal bases, Riesz bases and frames in L2 Hilbert spaces and we develop methods of construction of these systems both in Fourier Analysis and in Time-Frequency Analysis, sush as Multiresolution Analysis, by using a generator function and proper operators, some indicative of these being the translation, dilation and modulation operators. As an extension we pore over in their characteristics by applying transformations (e.g. Fourier , Zak) and we highlight the advantages and limitations of those systems in their implementation in Fourier Analysis and Time-Frequency Analysis, especially about existence (Fugledes Conjecture), simplicity of representation, versatility of designing, uniqueness of representation and the level of localization both in time and frequency (Balian-Low Theorem). Lastly we compare them between them with the intension of being applied in modern technological fields such as signal prossesing and more.