An algebraic calculation method for the acoustic low frequency F.Kariotou, D.E.Sinikis,School of science and Technology, Hellenic Open University 2014
Τα τελευταία χρόνια έχει παρουσιαστεί μεγάλη ανάπτυξη και εξέλιξη όσον αφορά στη μελέτη των προβλημάτων κυματικής διάδοσης και σκέδασης το οποίο είναι ως αποτέλεσμα σημαντικών εφαρμογών στην καθημερινή ζωή του ανθρώπου.
Στη φυσική και τα μαθηματικά, η θεωρία σκέδασης αποτελεί ένα θεωρητικό εργαλείο διερεύνησης του τρόπου με τον οποίο σκεδάζονται σωματίδια και κύματα. Η θεωρία σκέδασης έχει ευρύ φάσμα εφαρμογών, από τον τρόπο με τον οποίο αλληλοεπιδρούν μακροσκοπικά αντικείμενα όπως μπάλες του μπιλιάρδου μέχρι την σκέδαση ηλιακού φωτός από τα μόρια της ατμόσφαιρας(σκέδαση Rayleigh). Αυστηρότερα, η θεωρία σκέδασης ασχολείται με τη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων που διέπουν τα διάφορα φαινόμενα σκέδασης.
Υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι να αντιμετωπίσει κανείς ένα πρόβλημα σκέδασης ο ευθύς και ο αντίστροφος. Ο πρώτος τρόπος ασχολείται με τη μελέτη του τρόπου δια-νομής της ροής των σκεδαζόμενων κυμάτων στο χώρο γνωρίζοντας τα φυσικά χαρα-κτηριστικά του σκεδαστή. Ο δεύτερος τρόπος ασχολείται με τον καθορισμό των φυσι-κών χαρακτηριστικών του σκεδαστή π.χ. μέγεθος, εσωτερική δομή κτλ. βάσει του τρόπου με τον οποίο διανέμεται η ροή σκεδαζόμενων κυμάτων στο χώρο. Στην πα-ρούσα διπλωματική θα δώσουμε βάρος συγκεκριμένα στο ευθύ πρόβλημα.
Σε γενικές γραμμές, το ευθύ πρόβλημα σκέδασης είναι ένα θεμελιώδες πρόβλημα στη φυσική και τα μαθηματικά, ειδικά στους τομείς της κβαντικής μηχανικής, της ηλεκτρο-δυναμικής, της γεωφυσικής και της οπτικής. το ευθύ πρόβλημα σκέδασης αφορά τον υπολογισμό του τρόπου με τον οποίο ένα κύμα όπως ένα ηχητικό, ηλεκτρομαγνητικό, ή σωματιδιακό κύμα διασπείρεται ή αλληλοεπιδρά όταν συναντά ένα εμπόδιο ή μια ανωμαλία στο μέσο διάδοσής του.
Κύμα και Διαταραχή: Το κύμα μπορεί να είναι ηλεκτρομαγνητικό, ακουστικό ή ο-ποιασδήποτε άλλης μορφής. Η διαταραχή ή η ανωμαλία είναι το αντικείμενο ή η πε-ριοχή που διαταράσσει την ομαλή διάδοση του κύματος.
Σκέδαση: Η σκέδαση αναφέρεται στον τρόπο με τον οποίο το κύμα αλλάζει κατεύ-θυνση, ενέργεια, φάση ή άλλες ιδιότητες εξαιτίας της αλληλεπίδρασής του με τη διατα-ραχή.
Ευθύ Πρόβλημα: Στο ευθύ πρόβλημα σκέδασης, οι συνθήκες αρχικής κατάστασης του κύματος και η φύση της διαταραχής είναι γνωστές, και ο στόχος είναι να καθοριστεί η κατανομή του σκεδασμένου κύματος μετά την αλληλεπίδραση.
Εφαρμογές όπως:
• Ιατρική Απεικόνιση: Στην υπολογιστική τομογραφία, η σκέδαση των ακτινών Χ χρησιμοποιείται για τη δημιουργία εικόνων του εσωτερικού του σώματος.
• Ραντάρ και Σόναρ :σόναρ ,SONAR, είναι μια τεχνολογία που χρησιμοποιεί η-χητικά κύματα για την ανίχνευση και τον εντοπισμό αντικειμένων κάτω από την επιφάνεια του νερού, καθώς και για τη χαρτογράφηση του βυθού.
• Κβαντική Μηχανική: Στη σκέδαση σωματιδίων, όπως στην περίφημη διάσπαση των ηλεκτρονίων, η ανάλυση της σκέδασης παρέχει πληροφορίες για τις θεμε-λιώδεις αλληλεπιδράσεις.
Μαθηματική Περιγραφή:
Η μαθηματική ανάλυση του ευθέως προβλήματος σκέδασης συνήθως περιλαμβάνει τη λύση των εξισώσεων του Helmholtz ή των εξισώσεων Schrödinger, ανάλογα με το εί-δος του κύματος που εξετάζεται. Το πρόβλημα απαιτεί την εύρεση της λύσης αυτών των εξισώσεων υπό οριακές συνθήκες που καθορίζουν τη φύση της διαταραχής.
Ως αποτέλεσμα όλων των παραπάνω, το ευθύ πρόβλημα σκέδασης είναι κρίσιμης σημασίας για την κατανόηση της διάδοσης των κυμάτων σε διάφορα μέσα και έχει ευ-ρύ φάσμα εφαρμογών στην τεχνολογία και την επιστήμη. Επιπλέον σημαντικό ρόλο θα παίξει και η θεωρία χαμηλών συχνοτήτων όπου είναι μια προσέγγιση στη μελέτη των κυμάτων, ειδικά στον τομέα της ακουστικής, της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας και της σκέδασης κυμάτων. Η θεωρία αυτή εξετάζει τη συμπεριφορά των κυμάτων όταν οι συχνότητές τους είναι αρκετά χαμηλές σε σχέση με τα χαρακτηριστικά μεγέθη του συ-στήματος ή του μέσου μέσα στο οποίο διαδίδονται. Στις χαμηλές συχνότητες, τα μήκη κύματος είναι πολύ μεγαλύτερα σε σύγκριση με τα χαρακτηριστικά μεγέθη (όπως το μέγεθος των εμποδίων ή το μέγεθος των πόρων σε ένα υλικό). Αυτό σημαίνει ότι τα κύματα «βλέπουν» τα εμπόδια σαν μικρές διαταραχές και συχνά τα διαπερνούν χωρίς σημαντική σκέδαση. Επιπλέον , οι εξισώσεις που περιγράφουν τη διάδοση κυμάτων, όπως η εξίσωση Helmholtz, απλοποιούνται στις χαμηλές συχνότητες, καθώς οι χωρικές μεταβολές είναι μικρότερες. Αυτό επιτρέπει πιο απλές αναλυτικές λύσεις ή προσεγγι-στικές μεθόδους. Στη θεωρία χαμηλών συχνοτήτων, το μέσο διάδοσης (π.χ., ένα υλικό ή ένα ρευστό) θεωρείται συνήθως ομοιογενές και συνεκτικό σε σχέση με το μήκος κύ-ματος. Αυτό σημαίνει ότι οι λεπτομέρειες της δομής του μέσου έχουν μικρότερη επί-δραση στη διάδοση του κύματος.
Συνεπώς η θεωρία ακουστικής σκέδασης εστιάζει στις μεταβολές που επιφέρει σε ένα κυματικό πεδίο, η ύπαρξη ενός εμποδίου (σκεδαστής), στο χώρο διάδοσής του. Στην περίπτωση που γνωρίζουμε το προσπίπτον κυματικό πεδίο και τις φυσικές ιδιότη-τες του σκεδαστή και αναζητούμε το σκεδασμένο πεδίο, λέμε ότι έχουμε ένα ευθύ πρόβλημα σκέδασης. Επομένως, στη διπλωματική αυτή θα κάνουμε μία εισαγωγή στη διάδοση ακουστικών κυμάτων και θα μελετήσουμε κάποια βασικά προβλήματα σκέδασης. Τα προβλήματα σκέδασης προκύπτουν όταν ένα κύμα στέλνεται προς ένα εμπόδιο , τον σκεδαστή.
Στο 1ο κεφάλαιο θα αναφερθούμε για τον σκοπό και τα προσδοκόμενα αποτελέσματα της παρούσας διπλωματικής.
Στο 2ο κεφάλαιο θα αναφέρουμε και θα κατασκευάσουμε την εξίσωση Helmholtz όπως και κάποιες βασικές λύσεις της.
Στο 3ο κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με προβλήματα σκέδασης .Αρχικά θα παρουσιάσουμε αναλυτικά τις συνοριακές συνθήκες, οι οποίες εξαρτώνται από τις φυσικές ιδιότητες του σκεδαστή καθώς θα μιλήσουμε και για τη συνθήκη ακτινοβολίας του Sommerfeld, η οποία αποτελεί μία συνθήκη στο άπειρο ,δηλαδή εξασφαλίζει την εξασθένηση του κύματος καθώς αυτό απομακρύνεται από τον σκεδαστή. Επίσης, διατυπώνονται τα θεωρήματα ολοκληρωτικής αναπαράστασης για τις εσωτερικές και εξωτερικές λύσεις της εξίσωσης Helmholtz.
Στο 4ο κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε τη θεωρία χαμηλών συχνοτήτων ,η οποία παίζει σημαντικό ρόλο στην επίλυση προβλημάτων σκέδασης και αφορά προβλήματα μεγάλου μήκους κύματος. Με βάση αυτή τη θεωρία μετασχηματίζουμε τα προβλήματα σε αναπτύγματα δυναμοσειρών. Επομένως με αυτόν τον τρόπο προκύπτει ένα πρόβλημα θεωρίας δυναμικού ,όπου μπορούν να λυθούν σε σφαιρικά ή ελλειψοειδή συστήματα αξόνων.
Τέλος στο 5ο κεφάλαιο θα μιλήσουμε και θα αναλύσουμε το ευθύ πρόβλημα σκέδασης για σφαιρικούς σκεδαστές.
In recent years, there has been significant growth and advancement in the study of wave propagation and scattering problems, driven by important applications in everyday human life. In physics and mathematics, scattering theory serves as a theoretical tool for investigating how particles and waves are scattered. Scattering theory has a wide range of applications, from the interaction of macroscopic objects like billiard balls to the scattering of sunlight by atmospheric molecules (Rayleigh scattering). More rigorously, scattering theory deals with the study of differential equations that govern various scattering phenomena.
There are two different approaches to addressing a scattering problem: the direct and the inverse problems. The first approach involves studying the distribution of the flow of scattered waves in space, given the physical characteristics of the scatterer. The second approach focuses on determining the physical characteristics of the scatterer, such as its size or internal structure, based on the distribution of the scattered wave flow in space. In this thesis, we will specifically focus on the direct problem.
Generally, the direct scattering problem is a fundamental issue in physics and mathematics, particularly in the fields of quantum mechanics, electrodynamics, geophysics, and optics. The direct scattering problem involves calculating how a wave, such as an acoustic, electromagnetic, or particle wave, disperses or interacts when it encounters an obstacle or an irregularity in its propagation medium.
Wave and disturbance: The wave can be electromagnetic, acoustic, or any other form. The disturbance or irregularity is the object or region that disrupts the smooth propagation of the wave.
Scattering: Scattering refers to how the wave changes direction, energy, phase, or other properties due to its interaction with the disturbance.
Direct Problem: In the direct scattering problem, the initial conditions of the wave and the nature of the disturbance are known, and the goal is to determine the distribution of the scattered wave after the interaction.
Applications:
Medical Imaging: In computed tomography (CT), X-ray scattering creates images of the body's interior.
Radar and Sonar: SONAR is a technology that uses sound waves to detect and locate objects underwater and map the seafloor.
Quantum Mechanics: In particle scattering, such as the famous electron scattering experiments, scattering analysis provides insights into fundamental interactions.
Mathematical Description: The mathematical analysis of the direct scattering problem typically involves solving Helmholtz or Schrödinger equations, depending on the type of wave under consideration. The situation requires finding the solution to these equations under boundary conditions that define the nature of the disturbance.
As a result of all the above, the direct scattering problem is of critical importance for understanding wave propagation in various media and has a wide range of applications in technology and science. Additionally, the low-frequency theory plays a significant role. This theory is an approach to studying waves, particularly in acoustics, electromagnetic theory, and wave scattering. It examines wave behavior when their frequencies are relatively low compared to the characteristic sizes of the system or medium through which they propagate. At low frequencies, wavelengths are much larger compared to characteristic sizes (such as the size of obstacles or pores in a material). This means that waves "see" obstacles as small perturbations and often pass through them without significant scattering. Moreover, the equations describing wave propagation, such as the Helmholtz equation, are simplified at low frequencies since spatial variations are smaller. This allows for simpler analytical solutions or approximate methods. In low-frequency theory, the propagation medium (e.g., a material or fluid) is generally considered homogeneous and coherent relative to the wavelength. This means that the details of the medium's structure have less impact on wave propagation.
Thus, acoustic scattering theory focuses on the changes that the presence of an obstacle (scatterer) in the propagation space causes in a wave field. When the incident wave field and the physical properties of the scatterer are known, and the scattered field is sought, we have a direct scattering problem. Therefore, in this thesis, we will introduce acoustic wave propagation and study some basic scattering problems. Scattering problems arise when a wave is directed toward an obstacle, the scatterer.
Chapter 1 will address the purpose and expected outcomes of this thesis.
Chapter 2 will discuss and derive the Helmholtz equation. We will also mention some of its basic solutions.
Chapter 3 will focus on scattering problems. Initially, we will present boundary conditions in detail, which depend on the physical properties of the scatterer, as well as the Sommerfeld radiation condition, which is a condition at infinity that ensures the wave's attenuation as it moves away from the scatterer. Additionally, the integral representation theorems for the interior and exterior solutions of the Helmholtz equation will be formulated.
Chapter 4 will present low-frequency theory, which aids in solving scattering problems and concerns problems of large wavelengths. Based on this theory, we transform problems into power series expansions. This approach results in a potential theory problem, which can be solved in spherical or ellipsoidal coordinate systems.
Finally, in Chapter 5, we will discuss and analyze the direct scattering problem for spherical scatterers.
Αναπτύγματα Χαμηλών Συχνοτήτων Στη Σκέδαση Ακουστικών Κυμάτων Από Ομαλό Σκεδαστή