ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στο πλαίσιο ο προγράμματος "Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικα" (ΜΣΜ) της Σχολής Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου. Εξετάζουμε τις επιφάνειες ελάχιστης έκτασης στον .
     Το πρώτο κεφάλαιο αναφέρεται σε ορισμούς και βασικά θεωρήματα της διαφορικής γεωμετρίας, αναγκαία για την ανάπτυξη της θεωρίας των επιφανειών ελάχιστης έκτασης. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με τους ορισμούς της καμπυλότητας και εστιάζει στην έννοια της μέσης καμπυλότητας "Η". Μία ελαχιστική επιφάνεια, ιστορικά ορίζεται να έχει την ελάχιστη έκταση, εφόσον περικλείεται από μία απλή κλειστή καμπύλη. Το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται στην ισοδυναμία μεταξύ της μέσης καμπυλότητας "Η" και την ελάχιστη έκταση. Εξετάζουμε δύο κλάσεις επιφανειών, τις επιφάνειες εκ περιστροφής και τις ευθειογενείς. Γι' αυτές τις κλάσεις αποδεικνύουμε ότι το αλυσσοειδές και το ελικοειδές είναι αντίστοιχα επιφάνειες ελάχιστης έκτασης.  Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η παραμέτρηση Weirstrass-Ennepier για την κατασκευή επιφανειών ελάχιστης έκτασης. Στο συμπέρασμα ανακεφαλαιώνονται τα συμπεράσματα της εργασίας και θίγονται προβληματισμοί που ενσκήπτουν.

ABSTRACT

    This thesis is submitted under the master's program "Graduated Studies in Mathematics" of EAP. We examine the minimal surfaces in . The first chapter refers to the definitions and main theorems of Differential Geometry, necessary for the development of the theory of minimal surfaces. The chapter is completed with the definitions of curvature and focus at the meaning of mean curvature "H". A minimal surface historically is defined as the surface having the least possible area, bounded by a simple closed curve. The second chapter refers to the equivalence,  between mean curvature H and minimal area. We developed two classes of surfaces, the surfaces of revolution and ruled surfaces. For these classes we prove that the evaluated minimal surfaces are the Catenoid and the Helicoid respectively. The last chapter presents the Weirstrass-Ennepier method for constructing minimal surfaces. As a conclusion the results of our text are summarized and external questions that may be arise are given.