Στην παρούσα εργασία γίνεται παρουσίαση των λύσεων της φασματικής εξίσωσης Navier στη δισδιάστατη γραμμική ελαστικότητα, που επιπλέον ικανοποιούν την συνθήκη Herglotz. Εισάγονται τα ιδιοδιανύσματα Navier σε πολικό σύστημα συντεταγμένων και αποδεικνύεται ότι αποτελούν γραμμικά ανεξάρτητο και πλήρες σύνολο με την L²- έννοια. Αποδεικνύεται ότι οι κλασικές λύσεις της φασματικής εξίσωσης Navier μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των ιδιοδιανυσμάτων Navier και μάλιστα η έκφραση αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα σε συμπαγή υποσύνολα του R². Επίσης εισάγεται η έννοια του πλάτους σκέδασης, διαμήκους και εγκάρσιου και αποδεικνύεται η σύνδεσή τους με τις ελαστικές λύσεις Herglotz. Από το θεώρημα αναπαράστασης προκύπτει ότι οι ελαστικές λύσεις Herglotz μπορούν να εκφραστούν ως υπέρθεση επίπεδων κυμάτων, επί του μοναδιαίου κύκλου. Τέλος, αποδεικνύεται η πυκνότητα του συνόλου των ελαστικών συναρτήσεων Herglotz, στον χώρο των κλασικών λύσεων της φασματικής εξίσωσης Navier και παρουσιάζονται εφαρμογές και παρατηρήσεις.

This work features solutions to the spectral Navier equation of the two-dimensional linear elasticity, which verify the Herglotz boundness condition. Navier eigenvectors in polar coordinates are introduced and it is proven that they consist a linearly independent and complete set in the L² sense. Moreover, it is established that the classical solutions of the spectral Navier equation are correlated to Navier eigenvectors and this expansion converge uniformly over compact sets of R². Far-field pattern (longitudinal and transverse) is discussed, as well as it’s connection to elastic Herglotz solutions. Based on the representation theorem, it is proven that elastic Herglotz solutions can be expressed as superposition of plane waves, over the unit circle. Lastly, the density of elastic Herglotz functions is established, in the space of classical solutions of the spectral Navier equation.