Περίληψη

Στην  παρούσα  διπλωματική εργασία πραγματοποιείται μία εισαγωγή στις βασικές έννοιες του λογισμού μεταβολών, με την μελέτη προβλημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων. Αρχικά γίνεται μία προσπάθεια  προσδιορισμού και επεξήγησης των συναρτησιακών (ή συναρτησοειδών). Στην συνέχεια, ακολουθεί η διαδικασία διαχωρισμού και επίλυσης βασικών προβλημάτων ακρότατων τιμών καθώς και η περιγραφή της μεθόδου (κατασκευή εξισώσεων Euler-Lagrange) για την εύρεση αναγκαίων συνθηκών που ελαχιστοποιούν ή μεγιστοποιούν  τα συναρτησοειδή.

Στο δεύτερο μέρος της εργασίας αναπτύσσονται το ισοπεριμετρικό πρόβλημα,  η χαμιλτονιανή θεωρία καθώς και οι ικανές συνθήκες για τις άκρες  τιμές των συναρτησοειδών.

Στο τρίτο και τελευταίο μέρος της εργασίας εξετάζουμε την εφαρμογή των συναρτησοειδών και των άκρων τιμών τους  στους διάφορους κλάδους της επιστήμης, όπως οικονομία, τεχνικές κατασκευές, γεωφυσική, σεισμολογία.

Abstract

In this thesis, an introduction to the basic concepts of the calculus of variation is carried out, with the study of problems of partial differential equations.

Initially an attempt is made to define and explain the functionals.

Then follows the process of separating and solving basic finite value problems as well as the description of the method (construction of Euler-Lagrange equations) to find necessary conditions that minimize or maximize the functors.

In the second part of the paper, the isoperimetric problem, the Hamiltonian theory as well as the sufficient conditions for the extreme values ​​of the functionals are developed.

In the third and last part of the paper, we examine the application of functionals and their extreme values ​​in the various branches of science, such as economics, technical constructions, geophysics, seismology.