Σε αυτήν την εργασία γίνεται μια σύντομη εισαγωγική μελέτη στις βασικές αρχές του λογισμού των μεταβολών. Ο σημαντικός αυτός κλάδος των Μαθηματικών σχετίζεται και με άλλους κλάδους των Μαθηματικών, όπως η Γεωμετρία και οι Διαφορικές Εξισώσεις αλλά και με τη Φυσική και ιδιαίτερα με τη Μηχανική.

Αρχικά, παρουσιάζονται οι ιστορικές ρίζες του λογισμού των μεταβολών και βασικές έννοιες και θεωρήματα του. Γίνεται μελέτη των αναγκαίων συνθηκών για την ύπαρξη ακρότατων συναρτησιακών, της κατασκευής των εξισώσεων Euler – Lagrange, η οποία συνοδεύεται με παρουσίαση σημαντικών παραδειγμάτων.

Στην συνέχεια, παρουσιάζεται η Hamiltonian θεωρία. Διατυπώνεται η Αρχή της Ελάχιστης δράσης (ή Αρχή του Hamilton). Με βάση αυτή την αρχή, οι βασικοί νόμοι της Κλασικής Μηχανικής βρίσκουν εναλλακτική διατύπωση αυτής η οποία βασίζεται στα αξιώματα του Νεύτωνα. Ειδικότερα, με εφαρμογή της Αρχής της Ελάχιστης Δράσης μπορούν να παραχθούν οι εξισώσεις κίνησης σε μηχανικά συστήματα. Δείχνουμε επίσης την ισοδυναμία των εξισώσεων Lagrange και των εξισώσεων του Hamilton οι οποίες περιγράφουν την κατάσταση ενός συστήματος σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Αναφερόμαστε επίσης στον Hamiltonian χώρο φάσεων και το θεώρημα επανάληψης του Liouville.

Εξετάζουμε το θεμελιώδες παράδειγμα Hamiltonian συστήματος, αυτού με ένα βαθμό ελευθερίας. Μελετάμε την ευστάθεια ενός κρίσιμου σημείου με εφαρμογή των συναρτήσεων Lyapunov, εξετάζοντας τη ροή του συστήματος κατά μήκος των ισοσταθμικών καμπυλών τους. Τέλος, γίνεται εισαγωγή των απεικονίσεων Poincaré που μετασχηματίζουν τα δυναμικά συστήματα ανώτερης διάστασης σε διακριτές απεικονίσεις σε χώρο φάσεων μικρότερης διάστασης. Ολοκληρώνοντας, παρουσιάζουμε μια σημαντική εφαρμογή των απεικονίσεων Poincaré. Με την κατασκευή των απεικονίσεων Poincaré για μη-αυτόνομα δυναμικά συστήματα με δύο βαθμούς ελευθερίας, μελετάται η ευστάθεια τους με βάση το ισοδύναμο δυναμικό σύστημα το οποίο προκύπτει από την απεικόνιση Poincaré.

This dissertation provides an introductory study and presentation of the basic principles of the Calculus of Variations. This important branch of Mathematics is also related to other branches of Mathematics, such as Geometry and Differential Equations but also to Physics and especially to Mechanics.

First, reference to the historical origins of the Calculus of Variations is given, and its basic concepts and theorems are presented. We discuss the necessary conditions for the existence extrema for functionals and the construction of the Euler – Lagrange equations, which is accompanied by the presentation of important examples.

We proceed with presenting the fundamental principles of Hamiltonian Theory. The Least Action Principle (or Hamilton's Principle) is formulated. Based on this principle, the basic laws of Classical Mechanics find an alternative formulation to the one which based on Newton's laws. By applying the Least Action Principle, the equations of motion for mechanical systems can be derived. We discuss the equivalence between Lagrange's equations and Hamilton's equations which may describe the state of a system for all times. We also refer to the Hamiltonian phase space and Liouville' s recurrence theorem.

We consider the fundamental example of a Hamiltonian system, that is, the system with one degree of freedom. We study the stability of a critical point by applying Lyapunov functions, examining the flow of the system along their level curves. Finally, we present an introductory study of Poincaré maps which may transform higher-dimensional dynamical systems to their discrete counterparts in lower-dimensional phase spaces.

We conclude with the presentation of an important application of Poincaré maps. Constructing Poincaré maps for non-autonomous dynamical systems with two degrees of freedom allows us to study their stability based on the equivalent autonomous dynamical system derived through the Poincaré mapping reduction.