Η παρούσα  διπλωματική εργασία έχει στόχο τη μελέτη προβλημάτων σκέδασης. Πιο συγκεκριμένα, εξετάζουμε προβλήματα ακουστικής διάδοσης με χρήση των βαθμωτών εξισώσεων Helmholtz. Επίσης, μελετάμε προβλήματα συνοριακών τιμών σχετικά με τη διέγερση ομογενών και πολυστρωματικών σκεδαστών από σημειακές πηγές. Η διατύπωση και η διερεύνηση των μοντελοποιήσεων που διερευνούμε, βασίζεται στις μερικές διαφορικές εξισώσεις και την ασυμπτωτική ανάλυση.

Αρχικά, η μελέτη μας εστιάζεται στα ευθέα προβλήματα σκέδασης με μια εισαγωγή στις βασικές συνιστώσες της ακουστικής σκέδασης, όπως τον ορισμό  προσπίπτοντος και σκεδασμένου κύματος, την ανάλυση της δομής του σκεδαστή και τα βασικά θεωρήματα σκέδασης. Έπειτα, αναλύουμε τα είδη του πυρήνα κάθε σκεδαστή και τις αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες για καθένα από αυτά. Τέλος, παρουσιάζουμε εφαρμογή της θεωρίας χαμηλών συχνοτήτων σε συνδυασμό με τους τύπους Bessel και Hankel για μικρά ορίσματα, για τον προσδιορισμό των συντελεστών χαμηλών συχνοτήτων ανάλογα με το είδος του πυρήνα του σκεδαστή.

Οι παραπάνω προσεγγίσεις αξιοποιούνται σε προβλήματα αντίστροφης σκέδασης. Πιο συγκεκριμένα, στην παρούσα εργασία, περιγράφουμε δύο μεθόδους αντίστροφης σκέδασης: τη μέθοδο μακρινού πεδίου και τη μέθοδο κοντινού πεδίου. Η πρώτη αναφέρεται στον καθορισμό των χαρακτηριστικών του σκεδαστή από τη γνώση του μακρινού πεδίου, ενώ η δεύτερη στον προσδιορισμό των συντεταγμένων του κέντρου και της ακτίνας του σφαιρικού σκεδαστή από τη γνώση του σκεδασμένου πεδίου σε πέντε γνωστές θέσεις της πηγής. Τέλος, ανάλογα με είδος του πυρήνα του σκεδαστή, αλλά και τη θέση της σημειακής πηγής, υπολογίζονται οι συντελεστές χαμηλών συχνοτήτων, το μακρινό πεδίο και η ενεργειακή διατομή σκέδασης.

This thesis aims to study scattering problems. More specifically, we consider acoustic scattering problems modeled by the scalar Helmholtz equations. We also study boundary-value problems related to the excitation of homogeneous and multilayer scatterers from point sources. The formulation and investigation of the modeling schemes investigated are based on partial differential equations and asymptotic analysis.

Initially, our study focuses on the direct scattering problems with an introduction to the basic components of acoustic scattering, such as the definition of incident and scattered waves, the analysis of the scattering structure and the basic scattering theorems. We then discuss the types of the core of each scatterer and the corresponding boundary conditions corresponding to each of them. We apply low frequency theory in conjunction with the Bessel and Hankel formulas for small arguments to determine the low-frequency coefficients depending on the type of core of the scatterer.

Then, the above approaches are exploited in inverse scattering problems. We describe two inverse scattering methods: the far-field method and the near-field method. The first refers to determining the characteristics of the scatterer from knowledge of the far field, while the second refers to determining the coordinates of the center and radius of the spherical scatterer from knowledge of the scattered field at five known positions of the point source. Finally, depending on the type of the scatterer’s core and the position of the point source, the low-frequency coefficients, the far field, and the scattering energy cross section are calculated.