Το κύριο θέμα αυτής της εργασίας είναι το θεώρημα Perron-Frobenius. Το 1907 ο Γερμανός μαθηματικός Oskar Perron (1880-1975) δημοσίευσε το θεώρημα για θετικούς πίνακες. Με λίγο λόγια το θεώρημα του Perron μας λέει ότι η φασματική ακτίνα ενός θετικού πίνακα είναι μια απλή ιδιοτιμή του πίνακα και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι θετικό. Το 1912 ο George Frobenius, γενίκευσε το θεώρημα του Perron που αναφέρεται κυρίως σε μη αρνητικούς, μη υποβιβάσιμους πίνακες και σε θετικούς πίνακες.
Το θεώρημα Perron-Frobenius έχει ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών και σε μαθηματικά και σε πρακτικά θέματα.
Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας παρουσιάζονται βασικοί ορισμοί της Γραμμικής Άλγεβρας. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται σημαντικά θεωρήματα της θεωρίας των μη αρνητικών πινάκων και ορίζονται τα φασματικά μέτρα.
Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται ορισμένες εφαρμογές αυτού του θεωρήματος, όπως τα Γραμμικά Δυναμικά συστήματα και οι αλυσίδες Markov.
Στο τελευταίο κεφαλαίο, γίνεται μια εισαγωγή στους πολυωνυμικούς πίνακες και στις εφαρμογές του θεωρήματος Perron- Frobenius πάνω στους πολυωνυμικούς πίνακες.

The main topic of this thesis is Perron-Frobenius theory. In 1907 the German mathematician Oskar Perron (1880-1975) published his theorem for positive matrices. The Perron’s theorem (1907) tells us that the spectral radius of a positive matrix is a simple eigenvalue of the matrix and that its eigenvector can be taken to be positive. In 1912, George Frobenius (1849-1917), generalized Perron’s finding to nonnegative
irreducible and positive matrices. Applications include the Perron- Frobenius theorem has a wide range of applications in both pure mathematics and practical matters.
The first chapter of this thesis presents basic definitions of Linear Algebra.
The second chapter presents the important theorems of the theory of nonnegative matrices and spectral measures are defined.
The third chapter presents some applications of this theorem such as Linear Dynamic Systems and Markov chains, population models solutions of partial differential equations.
The last chapter presents an introduction of the polynomial tables and the applications of the Perron – Frobenius theorem in polynomial tables.