Το παρόν κείμενο αποτελεί τη Διπλωματική Εργασία του συγγραφέα για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στα Μαθηματικά από το Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο. Οι στόχοι της εργασίας αυτής είναι:
1) Η ανάπτυξη της θεωρίας των διαφορικών μορφών στον ℝ𝑛.
2) Ο αυστηρός ορισμός του επικαμπυλίου και επιφανειακού ολοκληρώματος.
Η εργασία χωρίζεται κατά φυσικό τρόπο σε τρία κεφάλαια. Το 1ο κεφάλαιο αφορά την καταγραφή των βασικών έννοιών από τη Γραμμική Άλγεβρα και τον Διαφορικό Λογισμό Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών. Το 2ο κεφάλαιο αφορά την ανάπτυξη του Λογισμού των Διαφορικών Μορφών. Το 3ο κεφάλαιο πραγματεύεται την ολοκλήρωση των διαφορικών μορφών και τα βασικά ολοκληρωτικά θεωρήματα της διανυσματικής ανάλυσης (Green, Gauss, Stokes).
Πιο συγκεκριμένα, στo 1ο κεφάλαιο αναλύονται με λεπτομέρεια τόσο οι στοιχειώδεις, όσο και οι πιο προχωρημένες έννοιες που χρειαζόμαστε. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στον δυϊκό χώρο καθώς και τον χώρο των (αντισυμμετρικών) διγραμμικών μορφών, εξετάζονται όμως και οι γενικότερες πολυγραμμικές μορφές. Υπενθυμίζεται επίσης η έννοια της παραγώγου και του διαφορικού μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών στα πλαίσια του κλασικού λογισμού.
Στο 2ο κεφάλαιο αναλύονται οι θεμελιώδεις έννοιες του εφαπτόμενου και του συνεφαπτόμενου χώρου. Εισάγονται με λεπτομέρεια και αυστηρότητα οι έννοιες του διανυσματικού πεδίου, της διαφορικής 1-μορφής, της διαφορικής 2-μορφής και της γενικότερης 𝑘-μορφής. Μεγάλη έμφαση δίνεται επίσης στον αυστηρό ορισμό του διαφορικού μιας πραγματικής συνάρτησης πολλών μεταβλητών.
Το 3ο κεφάλαιο περιέχει τη θεωρία ολοκλήρωσης των διαφορικών 1- και 2-μορφών για το επικαμπύλιο και το επιφανειακό ολοκλήρωμα, αντίστοιχα. Γίνεται λεπτομερής ανάπτυξη της θεωρίας των καμπύλων στον ℝ𝑛 και των επιφανειών στον ℝ3. Ακολουθεί εκτενής συζήτηση για το πρόβλημα του προσανατολισμού στο πλαίσιο των θεωρημάτων Green, Gauss και Stokes, που αποτελούν όλα ειδικές περιπτώσεις του τύπου του Stokes για πολλαπλότητες.
The present work is the thesis of the author for the completion of the master’s degree in Mathematics from the Hellenic Open University. The aims of this thesis are:
1) The development of the theory of differential forms in ℝ𝑛.
2) The rigorous definition of the line and surface integrals.
The thesis consists of three chapters. The 1st chapter contains the basic notions from Linear Algebra and the Multivariable Differential Calculus. The 2nd chapter develops the calculus of differential forms. The 3rd chapter concerns the integration of differential forms and the basic integral theorems of the vector analysis (Green, Gauss, Stokes).
More precisely, in the 1st chapter we analyze in detail the elementary notions, and the more advanced as well, needed in the sequel. Extra attention is paid in the dual space and the space of (antisymmetric) bilinear forms. We also consider the more general multilinear forms. In addition, we remind the notions of the derivative and the differential of a scalar function in the classical context.
In the 2nd chapter we analyze the fundamental notions of the tangent and the cotangent space. We define in a rigorous way the vector field, the differential 1-form, the differential 2-form (and the more general 𝑘-form) and the differential.
The 3rd chapter contains the theory of integration for differential 1- and 2-forms for line and surface integrals, respectively. The relevant theory of curves in ℝ𝑛 and the surfaces in ℝ3 is developed in detail. We discuss thoroughly the problem of orientation in the context of the Green, Gauss and Stokes Theorems. All these three theorems are special cases of the Stokes formula for manifolds.
ολοκλήρωση διαφορικών μορφών στον ευκλείδειο χώρο