Διαφορική Γεωμετρία | Συνομολογία | Θεωρία Hodge | Συνομολογία de Rham | Διαφορική τοπολογία
9
Diagrams, pictures included.
Η εργασία αυτή έχει ως στόχο την μελέτη της συνομολογίας de Rham και τις εφαρμογές της. Η εργασία
χωρίζεται σε πέντε κεφάλαια, στα τρία πρώτα παρουσιάζεται το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο για τη
μελέτη της συνομολογίας de Rham ενώ στα επόμενα δύο, αναπτύσσεται η θεωρία της συνομολογίας de
Rham, καθώς και κάποιες εφαρμογές της. Στο κεφάλαιο 2 εισάγεται η έννοια της πολλαπλότητας με έμφαση
στις ομαλές πολλαπλότητες, το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε τρεις ενότητες. Στην πρώτη ενότητα δίνεται ο
ορισμός της πολλαπλότητας μαζί με την βασική θεωρία αλλά και με ορισμένα παραδείγματα. Στην δεύτερη
ενότητα θα εξεταστούν οι απεικονίσεις μεταξύ των πολλαπλοτήτων και συγκεκριμένα οι διαφορομορφισμοί
ενώ στην τρίτη ενότητα, θα γίνει μια μικρή εισαγωγή στις πολλαπλότητες με σύνορο.
Στο κεφάλαιο 3, θα παρουσιάστει η βασική θεωρία για τους εφαπτομένους χώρους και τα διανυσματικά
πεδία σε μια ομαλή πολλαπλότητα. Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε πέντε ενότητες. Στην πρώτη ενότητα,
θα μελετηθεί ο εφαπτόμενος χώρος μια ομαλής πολλαπλότητας. Η δεύτερη και τρίτη ενότητα έχουν ως
κύριο θέμα τα διανυσματικά πεδία και τις διανυσματικές δέσμες. Στην επόμενη ενότητα θα γίνει μια σύντομη
εισαγωγή στον συνεφαπτόμενο χώρο, ο οποίος θα φανεί ιδιαίτερα χρήσιμος στη συνέχεια. Τέλος θα οριστούν
οι τανυστές και η βασική θεωρία τους.
Το κεφάλαιο 4 έχει ως κύριο θέμα την θεωρία ολοκλήρωσης σε πολλαπλότητες. Το κεφάλαιο χωρίζεται
σε τρεις ενότητες. Στην πρώτη ενότητα θα οριστούν οι διαφορικές μορφές και θα παρουσιαστεί η στοι-
χειώδης θεωρία τους. Στην επόμενη ενότητα θα οριστεί ο προσανατολισμός μιας πολλαπλότητας και στην
τελευταία ενότητα θα παρουσιαστεί η στοιχειώδης θεωρία ολοκλήρωσης σε πολλαπλότητες με κύριο στόχο
την παρουσίαση του θεωρήματος Stokes.
Το κεφάλαιο 5 έχει ως κύριο θέμα, τη συνομολογία de Rham. Η συνομολογία de Rham είναι ένα πολύ
χρήσιμο εργαλείο για την μελέτη ομαλών πολλαπλοτήτων, καθώς αποτελεί τοπολογική αναλλοίωτη. Αφού
δοθούν οι απαραίτητοι ορισμοί και κατασκευαστεί η ακολουθία Mayer-Vietoris, ένα σημαντικό εργαλείο για
την μελέτη της συνομολογίας de Rham, θα υπολογιστούν οι ομάδες συνομολογίας διαφόρων πολλαπλοτήτων.
Στο τέλος του κεφαλαίου θα παρουσιαστεί εν συντομία, το θεώρημα de Rham.
Τέλος, στο κεφάλαιο 6, θα γίνει μια μικρή εισαγωγή στην θεωρία Hodge. Το κύριο αντικείμενο της
θεωρίας Hodge είναι η μελέτη της συνομολογίας ομαλών πολλαπλοτήτων μελετώντας ένα είδος διαφορικών
μορφών, που ονομάζονται αρμονικές μορφές, πάνω σε αυτές. Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε έξι ενότητες.
Στην πρώτη ενότητα θα εισαχθούν οι πολλαπλότητες Rieman. Στη δεύτερη ενότητα θα οριστεί ο τελεστής
Laplace-Betrami. Στη συνέχεια θα γίνει μια μικρή εισαγωγή στην ασθενή λύση της εξίσωσης Laplace.
Στις επόμενες δύο ενότητες αποδεικνύεται το θεώρημα αποσύνθεσης του Hodge καθώς και της συνέπειάς
του ότι κάθε κλάση συνομολογίας de Rham έχει μοναδικό αρμονικό αντιπρόσωπο. Στην τελευταία ενότητα
θα χρησιμοποιηθεί το θεώρημα αποσύνθεσης του Hodge σε μια εφαρμογή στη θεωρία Chern-Simons στη
φυσική.
The aim of this thesis is to study de Rham cohomology and it’s applications. The thesis is organized into
five chapters, in the first three chapters, the basic theoretic background for studying de Rham cohomology
is presented while in the following two, the theory of de Rham cohomology is developed, along with some
applications. In chapter 2, the concept of a manifold is introduced with a strong focus on smooth
manifolds. This chapter is further divided into three sections. In the first section, the definition of a
manifold is given, along with the basic theory and some examples. In the second section, maps between
manifolds will be studied and particularly diffeomorphisms, while in the third section there will be a
short introduction to manifolds with boundary.
In chapter 3, the basic theory of tangent spaces and vector fields on a smooth manifold will be
presented. The chapter is divided into five sections. In the first section, the tangent space of smooth
manifolds will be studied. The second and third sections focus on the theory of vector bundles and vector
fields. In the next section, there will be a brief introduction to the cotangent space of a smooth manifold,
which will be particularly useful later. Finally tensors and their basic theory are introduced.
Chapter 4 has as main focus, the study of integration on manifolds. The chapter is divided into three
sections. In the first section, differential forms are defined and their basic theory is presented. In the next
section, the orientation of a manifold is defined and in the last section the basic theory of integration on
manifolds will be developed with an aim to present Stokes’ theorem. Chapter 5’s main focus is the theory
of de Rham cohomology. De Rham cohomology is a useful tool in the study of smooth manifolds, as it is
a topological invariant. Once the basic definitions required are given and the Mayer-Vietoris sequence is
constructed, an important tool for computing de Rham cohomology, the de Rham cohomology of various
manifolds will be computed. At the end of this chapter, there will be a quick overview of de Rham’s
theorem.
Finally, in chapter 6 there will be an introduction to Hodge theory. In Hodge theory the main object
is the study of cohomology of smooth manifolds by studying a class of differential forms, called harmonic
forms, on the manifold. The chapter is divided into six sections. In the first section, Riemannian manifolds
will be introduced. In the second section, the Laplace-Betrami operator will be defined and in section
three there will be a brief introduction to the weak solutions of the Laplace equation. In the following
two sections the Hodge decomposition theorem is proved along with it’s consequence that every de Rham
cohomology class has a unique harmonic representative. In the last section, the Hodge decomposition
theorem will be used in an application to Chern-Simons theory in Physics.
Εισαγωγή στη συνομολογία de Rham