Μια εισαγωγή στις πολλαπλότητες και εφαρμογή τους στις μεθόδους βελτιστοποίησης

  1. MSc thesis
  2. Μούχου-Μουτζουρίδου, Παναγιώτα
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 25 Σεπτεμβρίου 2022 [2022-09-25]
  5. Ελληνικά
  6. 65
  7. Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας
  8. Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας | Καριώτου, Φωτεινή
  9. πολλαπλότητες | εισαγωγή | μέθοδοι | βελτιστοποίηση
  10. 1
  11. 3
  12. Περιέχει: πίνακες, σχήματα, εικόνες
    • Στο πρώτο κεφάλαιο αναλύουμε την έννοια της διαφορίσιμης πολλαπλότητας ως έναν τοπικά Ευκλείδειο χώρο και παραθέτουμε το παράδειγμα της σφαίρας το οποίο είναι ιδιαίτερα βοηθητικό στο να αναπτύξει κάποιος διαίσθηση στο συγκεκριμένο ζήτημα. Στο δεύτερο κεφάλαιο μας απασχολούν οι συναρτήσεις που μπορούν να οριστούν πάνω σε πολλαπλότητες ή και μεταξύ αυτών και δίνουμε έμφαση στο να είναι αυτές οι συναρτήσεις λείες. Στο κεφάλαιο τρία αναφερόμαστε σε μια ιδιαίτερη ομάδα πολλαπλοτήτων, τις πολλαπλότητες πηλίκα δίνοντας ιδιαίτερη βαρύτητα στον πραγματικό προβολικό χώρο. Στο κεφάλαιο τέσσερα μας ενδιαφέρει ο εφαπτόμενος χώρος που προκύπτει φυσικά σε κάθε σημείο της πολλαπλότητας, απλώς από το γεγονός ότι έχουμε ορίσει τοπικά συντεταγμένες. Επίσης ορίζουμε την έννοια της παραγώγου μιας απεικόνισης ορισμένης σε πολλαπλότητα. Το πέμπτο κεφάλαιο αναφέρεται σε πολλαπλότητες οι οποίες ταυτόχρονα αποτελούν τμήματα μεγαλύτερων πολλαπλοτήτων, τις λεγόμενες υποπολλαπλότητες. Στο κεφάλαιο έξι παρουσιάζουμε την εφαπτόμενη δέσμη, που αποτελεί το σύνολο όλων των εφαπτόμενων χώρων μιας πολλαπλότητας. Στο τελευταίο κεφάλαιο εκθέτουμε κάποιους βασικούς αλγόριθμους βελτιστοποίησης προσαρμοσμένους στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της αντικειμενικής συνάρτησης είναι πολλαπλότητα.
    • In the first chapter we analyze the concept of a differential manifold as a locally Euclidean space and we provide an example, that of the sphere, which really helps to develop the relevant intuition. In the second chapter we are interested in functions with a manifold domain, or functions between manifolds, and we want both of them to be smooth. In chapter three a special type of manifold is mentioned, that of a quotient manifold, with the real projective space playing an important role. In chapter four we turn our attention to the tangent space which occurs naturally at every point of a manifold, as a consequence of introducing local coordinates around the point. We also give some definitions of the differential of a function between manifolds. Chapter five refers to submanifolds, meaning manifolds which are also parts of a bigger manifold. Chapter six is about the tangent bundle, which is the cluster of all tangent spaces of a manifold. In the last chapter we give some basic optimization algorithms tailored for the case when the objective function is defined on a manifold.
  14. Αναφορά Δημιουργού 4.0 Διεθνές