Συναρτησιακές Ανισότητες και οι Εφαρμογές τους στην Κυρτή Γεωμετρική Ανάλυση.

Functional Inequalities and their Applications in Geometric Convex Analysis (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Πετρέλλης, Άγγελος
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 24 Σεπτεμβρίου 2022 [2022-09-24]
  5. Ελληνικά
  6. 80
  7. Μπραζιτίκος, Σιλουανός
  8. Μπραζιτίκος, Σιλουανός | Παπαδόπουλος, Βασίλειος
  9. Κυρτή, Γεωμετρική Ανάλυση, Ισοπεριμετρικές Ανισότητες, Συγκέντρωση του Μέτρου | Dvoretzky, Brascamp-Lieb, Prekopa-Leindler, Brunn-Minkowski, Fritz John
  10. 3
  11. 41
  12. Υπάρχουν 11 (έντεκα) σχήματα που απεικονίζουν γεωμετρικά αντικείμενα. Υπάρχει κατάλογος σχημάτων στην εργασία.
    • Σκοπός της εργασίας είναι σε πρώτο επίπεδο η απόδειξη διάφορων συναρτησιακών ανισοτήτων, όπως η ανισότητα Brunn-Minkowski, η ανισότητα Brascamp-Lieb, η ανισότητα Prekopa-Leindler, η ανισότητα Loomis-Whitney και άλλες. Οι ανισότητες αυτές παρουσιάζουν ενδιαφέρον αυτόνο- μα, χρησιμοποιούνται δε σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών όπως οι διαφορικές εξισώσεις, οι πιθανότητες σε μεγάλες διαστάσεις, η Κυρτή Γεωμετρική Ανάλυση και η συνδυαστική. Στην εργασία θα ασχοληθούμε κυρίως με τις εφαρμογές των παραπάνω ανισοτήτων στον κλάδο της Κυρτής Γεωμετρικής ανάλυσης. Εκεί τα προβλήματα που συναντάμε είναι κυρίως γεωμετρικά προβλήματα που αφορούν κυρτά σώματα στον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, δηλαδή τον Rn. Μία κατηγορία τέτοιων προβλημάτων αποτελούν οι περιπτώσεις όπου ζητάμε (άνω και κάτω) φράγματα για τον όγκο κυρτών σωμάτων (πχ. Ανισότητα Brunn-Minkowski για τον όγκο του αθροίσματος κυρτών σωμάτων, ανισότητα Rogers-Shephard για τον όγκο της διαφοράς κυρτών σωμάτων) διάφορες ισοπεριμετρικές ανισότη- τες και αντίστροφες ισοπεριμετρικές ανισότητες, αλλά και προβλήματα που αφορούν συγκεκρίμενα σώματα στον Rn. Για παράδειγμα, τίθεται το ερώτημα για την μεγαλύτερη και μικρότερη τομή του κύβου με κάποιο υπερπεπίπεδο, καθώς και το ερώτημα για την μεγαλύτερη και μικρότερη προβολή του κύβου σε υπόχωρο διάστασης k. Παρόμοια ερωτήματα τίθενται και για το simplex στον Rn, δηλαδή την κυρτή θήκη n + 1 σημείων (στο επίπεδο το simplex είναι ένα τρίγωνο). Τέλος, ανισότητες «συγκέντρωσης του μέτρου» στην σφαίρα, οδηγούν στο θεώρημα Dvoretzky του οποίου η γεωμετρική ερμηνεία είναι η ακόλουθη: Κάθε κυρτό, κεντρικά συμμετρικό σώμα έχει κεντρικές τομές μεγάλης διάστασης που είναι «σχεδόν» ελλειψοειδείς.
    • The purpose of this paper is to prove at the first level various functional inequalities, such as the Brunn-Minkowski inequality, the Brascamp-Lieb inequality, the Prekopa-Leindler inequality, the Loomis-Whitney inequality and others. These inequalities, although of interest on their own, are used in various branches of mathematics such as differential equations, probability in high dimensions, Convex Geometric Analysis and Combinatorics. In the paper we will deal mainly with the applications of the above inequalities in the field of Convex Geometric analysis. The problems we encounter there are mainly geometric problems concerning convex bodies in the n-dimensional Euclidean space, ie Rn. A category of such problems are the cases where we ask for (upper and lower) bounds for the volume of convex bodies (eg Brunn-Minkowski inequality for the volume of a convex body, Rogers-Shephard inequality for the volume of the difference of convex bodies) various isoperimetric inequalities and inverse isoperimetric inequalities, but also problems involving specific convex bodies in Rn. For example, the question that arises concerning the largest and smallest intersection of the cube with a hyperplane, as well as the question about the largest and smallest projection of the cube in a k-dimensional space. Similar questions are asked about the simplex in Rn, ie the convex hull of n + 1 points (in the level simplex is a triangle). Finally, ”concentration of measure” inequalities in the sphere lead to the Dvoretzky theorem, whose geometric interpretation is as follows: Every centrally symmetric convex body has large central sections that are ”almost” ellipsoidal.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.