ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

  1. MSc thesis
  2. ΔΗΜΑΚΗ, ΑΦΡΟΔΙΤΗ
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 24 Σεπτεμβρίου 2022 [2022-09-24]
  5. Ελληνικά
  6. 71
  7. ΜΠΟΥΚΑΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ
  8. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ | ΣΕΙΡΕΣ
  9. 1
  10. 3
  11. 6
  12. Γραφικές παραστάσεις
    • Το 1821 ο Augustin-Louis Cauchy δημοσίευσε μια απόδειξη όπου υποστήριξε ότι ‘το όριο κάθε συγκλίνουσας σειράς συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση’, για το οποίο ο Niels Henrik Abel το 1826 βρήκε αντιπαραδείγματα στο πλαίσιο των σειρών Fourier, υποστηρίζοντας ότι η απόδειξη του Cauchy είναι λανθασμένη. Εντελώς καθορισμένες έννοιες της σύγκλισης δεν υπήρχαν εκείνη την εποχή, και ο Cauchy χειριζόταν τη σύγκλιση χρησιμοποιώντας μεθόδους απειροστών μεταβολών. Ο όρος ομοιόμορφη σύγκλιση πιθανότατα χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Christoph Gudermann, σε μια εργασία του το 1838 σχετικά με τις ελλειπτικές συναρτήσεις, παρόλα αυτά δεν έδωσε έναν επίσημο ορισμό, ούτε χρησιμοποίησε την ιδιότητα σε καμία από τις αποδείξεις του. Αργότερα,ο μαθητής του Gudermann, Karl Weierstrass, ο οποίος παρακολούθησε το μάθημά του για τις ελλειπτικές συναρτήσεις το 1839-1840, επινόησε τον όρο ‘ομοιόμορφα συγκλίνουσες’ (Γερμανικά: gleichm¨aßig konvergent) τον οποίο χρησιμοποίησε στην εργασία του “Zur Theorie der Potenzreihen” το 1841, που δημοσιεύτηκε το 1894. Ανεξάρτητα, παρόμοιες έννοιες διατυπώθηκαν από τους Philipp Ludwig von Seidel και George Gabriel Stokes. Ο G. H. Hardy συγκρίνει τους τρεις ορισμούς στην εργασία του “Sir George Stokes and the concept of uniform convergence” και παρατηρεί: ‘Η ανακάλυψη του Weierstrass ήταν η παλαιότερη, και μόνος του συνειδητοποίησε πλήρως την εκτεταμένη σημασία της ως μία από τις θεμελιώδεις ιδέες της Ανάλυσης’. Σκοπός αυτής της εργασίας είναι η μελέτη ακολουθιών και σειρών πραγματικών συναρτήσεων με έμφαση στις συνθήκες που επιτρέπουν την εναλλαγή των βασικών οριακών πράξεων της Ανάλυσης, δηλαδή της άπειρης άθροισης, της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης. Η εργασία χωρίζεται σε πέντε κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται βασικές έννοιες της Πραγματικής Ανάλυσης, που είναι απαραίτητες για την μελέτη των επόμενων κεφαλαίων. Το δεύτερο κεφάλαιο αποτελείται απο δύο ενότητες, τη θεωρία για την κατά σημείο σύγκλιση ακολουθιών, όπου πέρα από τη θεωρία και τις αποδείξεις, αναφέρονται παραδείγματα και αντιπαραδείγματα, ώστε να τονιστεί η σημασία της ιδιότητας της ομοιόμορφης σύγκλισης, η οποία αποτελεί την δεύτερη ενότητα του κεφαλαίου. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η θεωρία για την κατά σημείο και ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων, καθώς και το κριτήριο του Cauchy και το Weierstrass M-Test. Στο τέταρτο κεφάλαιο εξηγείται πως αρκετές ιδιότητες των ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων, όπως η συνέχεια, η ολοκλήρωση και η παραγώγιση, με κάποιες πρόσθετες υποθέσεις, μεταφέρονται στην οριακή συνάρτηση, εάν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο παρατίθενται κάποια αντιπαραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση των θεωρημάτων που αναφέρθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, όταν οι υποθέσεις των θεωρημάτων αυτών αποτυγχάνουν.
    • In 1821 Augustin-Louis Cauchy published proof that “a convergent sum of continuous functions is always continuous”, to which Niels Henrik Abel in 1826 found purported counterexamples in the context of the Fourier series, arguing that Cauchy’s proof is incorrect. Completely standard notions of convergence did not exist at the time, and Cauchy handled convergence using infinitesimal methods. The term uniform convergence was probably first used by Christoph Gudermann, in an 1838 paper on elliptic functions, nevertheless, he did not give a formal definition, nor use the property in any of his proofs. Later Gudermann’s pupil Karl Weierstrass who attended his course on elliptic functions in 1839-1840, coined the term “uniformly convergent” (German: gleichm¨aßig konvergent) which he used in his 1841 paper “Zur Theorie der Potenzreihen”, published in 1894. Independently, similar concepts were articulated by Philipp Ludwig von Seidel and George Gabriel Stokes. G. H. Hardy compares the three definitions in his paper “Sir George Stokes and the concept of uniform convergence” and remarks: “Weierstrass’s discovery was the earliest, and he alone fully realized its far-reaching importance as one of the fundamental ideas of Analysis.” The purpose of this thesis is to study sequences and series of real functions with an emphasis on the conditions that allow the interchange of the basic limit operations of Analysis, i.e., infinite sum, differantiation, and integration. The work is divided into five chapters. The first chapter presents basic concepts of Real Analysis, which are necessary for the study of the subsequent chapters. The second chapter consists of two sections, the theory of pointwise convergence, where in addition to theory and proofs, examples and counterexamples are given, to emphasize the importance of the property of uniform convergence, which is the second section of the chapter. The third chapter presents the theory of pointwise and uniform convergence of series of functions as well as the Cauchy criterion and the Weierstrass M-Test. The fourth chapter explains that several properties of sequences and series of functions, such as continuity, integration, and differantiation, with some additional assumptions, are transferred to the limit function if the convergence is uniform. Finally, in the fifth chapter, some counterexamples are given for a better understanding of the theorems mentioned in the previous chapters, when the hypotheses of these theorems fail.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.