Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως σκοπό τη μελέτη των στοχαστικών μοντέλων
μεταβλητότητας Barndorff-Nielsen και Shephard (BN-S Models), καθώς και την χρήση αυτών
ώστε να τιμολογηθούν τα Δικαιώματα προαίρεσης. Θα δώσουμε το απαραίτητο μαθηματικό
υπόβαθρο παρουσιάζοντας μία εισαγωγή στη θεωρία στοχαστικής ανάλυσης, συγκεκριμένα
στο ολοκλήρωμα-διαδικασία Ιtô καθώς και σε μεθόδους λύσεων στοχαστικών διαφορικών
εξισώσεων. Οι διαδικασίες Lévy και Ornstein-Uhlenbeck (OU), μας οδηγούν στη καλύτερη
κατανόηση των στοχαστικών διαδικασιών με άλματα, που χρησιμοποιούν τα μοντέλα BN-S.
Επίσης, θα αναφερθούμε στις προσεγγίσεις της μεταβλητότητας, του μοντέλου BN-S, μέσω
της OU διαδικασίας και των κατανομών Γάμμα (Γ) και Inverse Gauss (IG). Ολοκληρώνοντας,
θα παρουσιάσουμε τα ισοδύναμα μέτρα Martingales (EMM’s), και με την χρήση τους θα
προσομοιάσουμε έναν «ακίνδυνο» κόσμο (σταθερής μεταβλητότητας), στον οποίο θα
τιμολογήσουμε παράγωγα συμβόλαια Ευρωπαϊκού τύπου.
The aim of this dissertation is to study the Barndorff-Nielsen and Shephard stochastic
variability models (BN-S Models), as well as to use them to price Options. We will describe
the necessary mathematical background, by making an introduction to the theory of stochastic
analysis, with emphasis to the integral-process Itô as well as the methods solutions of stochastic
differential equations. The Lévy and Ornstein-Uhlenbeck processes provide us with a better
understanding of the stochastic jumping procedures used by the BN-S models. We will also
refer to the volatility of the BN-S model, as a OU process driven by Gamma (Γ) or Inverse
Gauss (IG) distributions. We will also present the equivalent Martingales measures (EMM’s),
and by using them we will simulate a "riskless" world (constant volatility), in which we will
price simple European-style derivative assets.
Στοχαστικά Μοντέλα Μεταβλητότητας στην Τιμολόγηση Δικαιωμάτων Προαίρεσης