Επαναληπτικές Μέθοδοι Υποχώρου Krylov για την Επίλυση Αραιών Γραμμικών Συστημάτων: Αριθμητική Αποτίμηση με Χρήση Εξισορρόπησης και Προρρύθμισης του Πίνακα Συντελεστών

Iterative Krylov Subspace Methods for Solving Sparse Linear Systems: A Numerical Study of Matrix Equilibration and Preconditioning (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Γκόνη, Βαλεντίνα
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 26 Σεπτεμβρίου 2021 [2021-09-26]
  5. Ελληνικά
  6. 176
  7. Σωτηρόπουλος, Δημήτριος
  8. Τσίτσας, Νικόλαος | Βλάμος, Παναγιώτης
  9. Επαναληπτικές μέθοδοι | Iterative methods | Αραιοί πίνακες | Sparse matrices | γραμμικά συστήματα | linear systems | MATLAB | MATLAB | Εξισορρόπηση | Equilibrate | Προρρύθμιση | Precondition | Υποχώρος Krylov | Krylov subspace
  10. 2
  11. 4
  12. 31
  13. Περιέχει: σχήματα, πίνακες, αλγορίθμους, κώδικες
    • Μεγάλη γκάμα σύγχρονων επιστημονικών προβλημάτων, τα οποία απαιτούν υπολογιστική προσέγγιση, μπορούν να μοντελοποιηθούν μέσω συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Τα συστήματα αυτά συνήθως απαρτίζονται από εκατοντάδες ή και χιλιάδες εξισώσεις. Τις περισσότερες φορές όμως, οι πίνακες συντελεστών τους είναι αραιοί. Η κλασσική προσέγγιση της επίλυσης τέτοιων συστημάτων με απ’ ευθείας μεθόδους δεν είναι ικανοποιητική λόγω της μεγάλης απαίτησης σε υπολογιστικούς πόρους (κυρίως μνήμης). Γι’ αυτό το λόγο η σύγχρονη αντιμετώπιση του προβλήματος της επίλυσης γραμμικών συστημάτων με αραιούς πίνακες συντελεστών είναι η εφαρμογή των λεγόμενων επαναληπτικών μεθόδων. Στην παρούσα διπλωματική εργασία γίνεται μία σύντομη παρουσίαση των πιο διαδεδομένων επαναληπτικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την επίλυση γραμμικών συστημάτων, με ιδιαίτερη έμφαση στις μεθόδους υποχώρου Krylov, και στη συνέχεια διερευνώνται οι δυνατότητες που παρέχουν οι αντίστοιχες εγγενείς συναρτήσεις του μαθηματικού πακέτου MATLAB, εφαρμόζοντας τες σε μεγάλο αριθμό αραιών πινάκων, από διάφορα επιστημονικά πεδία εφαρμογών, καταγράφοντας και σχολιάζοντας τα αποτελέσματα. Ειδικότερα γίνεται διερεύνηση του κατά πόσο μία διαδικασία εξισορρόπησης και μετέπειτα προρρύθμισης του αρχικού πίνακα συντελεστών μέσω της συνάρτησης equilibrate του MATLAB, βοηθά ή όχι τη σύγκλιση.
    • A wide range of modern scientific problems, that require a computational approach for solving, can be modeled by systems of linear equations. These systems usually consist of hundreds or even thousands of equations, but their coefficient tables are sparse most of the time. The classical approach to solving such systems by direct methods is not satisfactory due to the high demand for computing resources (mainly memory). For this reason, the modern solution to the problem of solving linear systems with sparse coefficient tables is the use of the so-called iterative methods. In the current dissertation, a brief overview of the most common iterative methods used to solve large linear systems is presented, and the possibilities provided by the corresponding built-in functions of the mathematical package MATLAB is explored by applying them to a large number of sparse coefficient tables from various scientific fields, recording and commenting on the results. In particular, it is investigated whether balancing and preconditioning the initial coefficient table using MATLABʼs equilibrate function helps with the convergence.
  15. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.