Το Θεώρημα του von Neumann για τις ομάδες Lie πινάκων.

Von Neumann's theorem for Matrix Lie Groups (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Κατζιώτη, Χαρούλα
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 26 Σεπτεμβρίου 2021 [2021-09-26]
  5. Ελληνικά
  6. 198
  7. Μπούκας, Ανδρέας
  8. Μπούκας, Ανδρέας | Παπαδόπουλος, Βασίλειος
  9. Ομάδες | Πολλαπλότητες | 'Ατλας | Ομάδες Lie Πινάκων | Αναπαραστάσεις | Εφαπτόμενος Χώρος | von Neumann
  10. 1
  11. 6
  12. 10
  13. Περιέχει: εικόνες
    • Σε αυτή τη διπλωματική εργασία θέλουμε να δοθούν στοιχεία για το Θεώρημα του von Neumann για τις ομάδες Lie πινάκων. Μία ομάδα Lie είναι μία λεία πολλαπλότητα G, η οποία είναι ταυτόχρονα και ομάδα, έτσι ώστε οι πράξεις της ομάδας , καθώς και η απεικόνιση αντιστροφής να είναι λείες απεικονίσεις. Αποτελούν μια εξαιρετικά σημαντική κλάση πολλαπλοτήτων με μεγάλο εύρος εφαρμογών στη γεωμετρία, στη φυσική, στην αρμονική ανάλυση, στις διαφορικές εξισώσεις, αλλά και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών όπως στατιστική, θεωρία ελέγχου κ.α. Θεμελιωτές της θεωρίας των ομάδων και αλγεβρών Lie είναι οι Sophus Lie, Wilhelm Lilling, Claude Chevalley, Ellie Cartan, Friedrich Engel, Igor Ado, Hermann Weyl και John von Neumann. Οι ομάδες Lie ως μη γραμμικά αντικείμενα, είναι αρκετά δύσκολα στη μελέτη. Όπως και για μια οποιαδήποτε πολλαπλότητα, ο εφαπτόμενος χώρος σε κάθε σημείο τους αποτελεί τη βέλτιστη γραμμική προσέγγιση στο σημείο αυτό. Ωστόσο, το σημαντικό με τη θεωρία των ομάδων Lie είναι ότι χρησιμοποιώντας απεικονίσεις μεταφοράς, αρκεί να μελετήσουμε τον εφαπτόμενο χώρο μόνο στο ουδέτερο σημείο. Τα πιο σημαντικά παραδείγματα ομάδων Lie είναι οι ομάδες Lie πινάκων, δηλαδή κλειστές υποομάδες της γενικής γραμμικής ομάδας. Το 1929, ο von Neumann δημοσίευσε το πολύ σημαντικό θεώρημα, ότι δηλαδή « μία ομάδα γραμμικών μετασχηματισμών σε έναν χώρο πεπερασμένης διάστασης, εάν είναι κλειστή, τότε θα είναι ομάδα Lie». O Ellie Cartan, ο οποίος ήταν γεωμέτρης, αναγνώρισε αμέσως ότι το θεώρημα αυτό ήταν ειδική περίπτωση της γενικότερης πρότασης ότι «μία κλειστή υποομάδα μίας ομάδας Lie είναι επίσης ομάδα Lie», και το απέδειξε με την ίδια διαδικασία αλλά σε μία πιο συντομευμένη μορφή. Σύμφωνα με τον Bochner, δεν υπάρχει σχεδόν κανένας νεαρός μαθηματικός σήμερα που να αντιλαμβάνεται ότι αυτή η γνωστή γενική πρόταση ήταν η αρχική ανακάλυψη του von Neumann.
    • In this thesis we want to provide data on von Neumann’s theorem of matrix Lie groups. A Lie group is a smooth manifold G, which is also a group, in a way that the operations of the group as well as the inverse map are inverse maps. They constitute an extremely important class of manifolds with a wide range of applications in geometry, physics, harmonic analysis, differential equations, but also in other branches of mathematics such as statistics, control theory etc. The founders of Lie group theory and algebra are Sophus Lie, Wilhelm Lilling, Claude Chevalley, Ellie Cartan, Friedrich Engel, Igor Ado, Hermann Weyl and John von Neumann. Lie groups as non-linear objects are quite difficult to study. As with any manifold, the tangent space at each point is the optimal linear approach to that point. However, the important thing about Lie group theory is that by using transformation maps, it is enough to study the tangent space only at the neutral point. The most important examples of Lie groups are matrix Lie groups, namely closed subgroups of the general linear group. In 1929, von Neumann published his theorem, stating that “a group of linear transformations in a finite dimensional space, provided that it is closed, is a Lie group”. Ellie Cartan, who was a geometer, immediately recognized that the theorem was a special case of the general proposition that a closed subgroup of a Lie group, is also a Lie group, and he proved it by following the same procedure, yet abbreviated, procedure. According to Bochner, there is hardly a young mathematician today who realizes that this familiar, well known, general proposition was originally stipulated by von Neumann.
  15. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.