Μη Γραμμικές Ταλαντώσεις και Εφαρμογές

  1. MSc thesis
  2. ΚΛΕΠΕΤΣΑΝΗΣ, ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 26 Μαίου 2020 [2020-05-26]
  5. Ελληνικά
  6. 142
  7. ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ, ΧΡΗΣΤΟΣ
  8. ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ, ΧΡΗΣΤΟΣ | ΚΑΡΙΩΤΟΥ, ΦΩΤΕΙΝΗ
  9. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ | ΕΠΙΠΕΔΟ ΦΑΣΕΩΝ | ΟΡΙΑΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ | ΧΗΜΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙς
  10. 1
  11. 15
  12. 13
  13. Περιέχει: σχήματα, διαγράμματα, εικόνες.
  14. Εφαρμογές των συνήθων διαφορικών εξισώσεων Τόμος ΙΙ / Παναγιώτης Σιαφαρίκας
    • Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα διερευνήσουμε την ύπαρξη περιοδικών λύσεων σε μη γραμμικά συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων και θα εφαρμόσουμε τα αποτελέσματα της διερεύνησης αυτής σε μη γραμμικά προβλήματα. Είναι γνωστό ότι πολύ λίγες συνήθεις διαφορικές εξισώσεις έχουν αναλυτικές λύσεις εκφρασμένες με πεπερασμένους όρους. Αυτό δεν συμβαίνει επειδή στερούμαστε εφευρετικότητας, αλλά επειδή το "οπλοστάσιο" των τυπικών συναρτήσεων (πολυώνυμα, εκθετικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές συναρτήσεις κ.ο.κ.), μέσω των οποίων μπορούν να εκφραστούν οι λύσεις, είναι πολύ περιορισμένο για να καλύψει την ποικιλία των διαφορικών εξισώσεων που συναντώνται στην πράξη. Ακόμα και αν βρεθεί μια λύση, ο τύπος είναι συχνά πολύ περίπλοκος για να εμφανιστούν σαφώς τα κύρια χαρακτηριστικά της. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα στις μη αναλυτικές λύσεις και στις λύσεις που έχουν τη μορφή ολοκληρωμάτων ή άπειρων σειρών. Αναζητούμε ένα εργαλείο που θα μας βγάλει από τη δύσκολη θέση της εύρεση λύσης. Ένα εργαλείο που θα βοηθήσει στην ποιοτική μελέτη των διαφορικών εξισώσεων για να εξετάσουμε το πώς μπορούμε να προσδιορίσουμε σημαντικά χαρακτηριστικά των λύσεων τους χωρίς να φτάσουμε στην επίλυσή τους. Ένα τέτοιο γεωμετρικό εργαλείο είναι το επίπεδο φάσεων το οποίο χρησιμοποιείται εκτενώς για να λάβουμε απευθείας από τη διαφορική εξίσωση ιδιότητες, όπως το είδος ισορροπίας και ευστάθειας των λύσεων, η περιοδικότητα των λύσεων, η απείρως μεγάλη αύξηση μεγεθών τα οποία οι λύσεις περιγράφουν. Η αναζήτηση του επιπέδου των φάσεων εδραιώνεται στα γραμμικά συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων μέσω των οποίων, υπό συνθήκες, οδηγούμαστε και σε περιοδικές λύσεις. Το πεδίο των φάσεων μη γραμμικών συστημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων ορίζεται, κάτω από προϋποθέσεις, μέσω του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου συστήματος σε μία περιοχή ενός σημείου ισορροπίας του. Όμως η περιοχή της μη γραμμικότητας επιφυλάσσει εκπλήξεις. Για παράδειγμα το γραμμικοποιημένο σύστημα δεν δίνει πάντα πληροφορίες για τη συμπεριφορά του αντίστοιχου μη γραμμικού συστήματος. Στα μη γραμμικά συστήματα ο προσδιορισμός περιοδικών λύσεων, τις περισσότερες φορές, ξεφεύγει από την απλότητα των γραμμικών συστημάτων και η έρευνα για την ύπαρξη τους δυσχεραίνει. Με την εργασία αυτή επιδιώκουμε λοιπόν να εδραιώσουμε θεωρητικά τα πεδία φάσεων σε γραμμικά συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων και να τα επαληθεύσουμε μέσω παραδειγμάτων. Επίσης, θα περιγράψουμε τρόπους για τον προσδιορισμό περιοδικών λύσεων σε μη γραμμικά συστήματα και θα τους εφαρμόσουμε σε μη γραμμικά προβλήματα με όχημα την αντίδραση Belousov – Zhabotinsky. Τέλος, η επαλήθευση της μελέτης του μη γραμμικού προβλήματος θα γίνει με παραδείγματα διαφορετικών περιπτώσεων και με τη χρήση του λογισμικού πακέτου Mathematica©.
    • In the present Bachelor's thesis we will investigate the existence of periodic solutions in nonlinear systems of ordinary differential equations and we will apply the results of this investigation to nonlinear problems. It is well known that very few ordinary differential equations have explicit solutions expressed in finite terms. This is not because we lack inventiveness, but because the "arsenal" of standard functions (polynomial, exponential, logarithmic, trigonometric functions, etc.), through which solutions can be expressed, is too limited to cover the variety of the differential equations found in practice. Even if a solution is found, the formula is often too complicated to clearly show its main features. This is especially true of implicit solutions and solutions in the form of integrals or infinite serieses. We are looking for a tool that will get us out of the difficult position of finding a solution. A tool that will help us in the qualitative study of differential equations to examine how we can identify important features of their solutions without reaching the solution. One such geometric tool is the phase plane which is widely used to obtain properties directly from the differential equation, such as the kind of equilibrium and stability of solutions, the periodicity of solutions, the unlimited growth of solution terms. The search for the phase plane is established in the linear systems of ordinary differential equations through which, under conditions, we are led to periodic solutions. The phase plane of nonlinear systems of ordinary differential equations is defined, under certain conditions, through the corresponding linearized system in an area of an equilibrium point. But the nonlinearity field holds surprises. For example, the linearized system does not al-ways give information about the behaviour of the corresponding nonlinear system. In non-linear systems, the determination of periodic solutions, most of the time, goes beyond the simplicity of linear systems and the research for their existence is difficult. With this work, we seek to theoretically establish the phase plane in linear systems of ordinary differential equations and to verify it through examples. We will also describe ways to identify periodic solutions in nonlinear systems and apply them to nonlinear problems through the study on the Belousov-Zhabotinsky reaction.
  16. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.