«Θεωρία Πινάκων, Κβατέρνια του Hamilton και Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί»

Matrix Theory, Hamilton's Quaternions and Geometric Transforms (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Καρτέρη, Σταυρούλα
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 30 Σεπτεμβρίου 2018 [2018-09-30]
  5. Ελληνικά
  6. 91
  7. Τζερμιάς, Παύλος
  8. Τζερμιάς, Παύλος | Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας
  9. Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί,Geometric Τransforms | Ανάκλαση,Reflection | Αλλαγή κλίμακας,Scaling | Στρέβλωση,Shearing | Παράλληλη Μετατόπιση,Translation | Περιστροφή,Rotation | Κβατέρνια,Quaternions
  10. 1
  11. 9
  12. Περιέχει: σχήματα,πίνακες, φωτογραφίες
    • Το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη των δισδιάστατων και τρισδιάστατων γεωμετρικών μετασχηματισμών που εφαρμόζονται ευρέως στην παραγωγή video games και animation: Αλλαγή κλίμακας, Παράλληλη Μετατόπιση, Στρέβλωση, Ανάκλαση και Περιστροφή. Για να περιγράψουμε αυτούς τους μετασχηματισμούς χρησιμοποιούμε τους πίνακες. Οι πίνακες αποτελούν ένα εύχρηστο μαθηματικό εργαλείο για την επικοινωνία με ένα υπολογιστικό σύστημα, ιδιαίτερα όταν τα δεδομένα απευθύνονται σε επεξεργαστές γραφικών. Οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί που παρουσιάζουν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον είναι οι περιστροφές, αφού μπορούν να συνδυαστούν με πολλούς τρόπους. Οι απλούστερες είναι οι περιστροφές Euler, ως προς τους τρεις καρτεσιανούς άξονες, από τις οποίες μπορεί να παραχθεί οποιαδήποτε περιστροφή στον τρισδιάστατο χώρο. Ένα πρόβλημα που έχουμε να αντιμετωπίσουμε με τις σύνθετες περιστροφές Euler είναι το Gimbal Lock, όταν σε ένα τρισδιάστατο μηχανισμό δακτυλίων ένας βαθμός ελευθερίας της κίνησης χάνεται κάτω από ορισμένους συνδυασμούς γωνιών. Για την αλγεβρική περιγραφή της περιστροφής ενός σημείου ως προς τυχαίο άξονα στο χώρο, χρησιμοποιούμε πίνακες , διανύσματα και κβατέρνια. Τα κβατέρνια (Quaternions) είναι υπερμιγαδικοί αριθμοί που ανακαλύφθηκαν από τον Ιρλανδό μαθηματικό William Hamilton το 1843. Ένα κβατέρνιο έχει τη μορφή: , όπου για τα , ισχύουν οι κανόνες: και μπορεί να θεωρηθεί σαν διατεταγμένο ζεύγος ενός βαθμωτού όρου και ενός διανύσματος: . Η περιστροφή ενός σημείου ως προς τυχαίο άξονα στο χώρο, δίνεται από τον μετασχηματισμό: , με και , όπου είναι ο άξονας περιστροφής με και είναι η γωνία περιστροφής. Η περιστροφή αυτή μπορεί να περιγραφεί και με τη μορφή ενός πίνακα. Με τη βοήθεια των κβατερνίων μπορούμε να βρούμε τη θέση ενός σημείου στο χώρο μετά από διαδοχικές περιστροφές. Γνωρίζοντας έναν πίνακα περιστροφής μπορούμε να υπολογίσουμε τον άξονα και τη γωνία περιστροφής, όπως και τις γωνίες των απλών περιστροφών Euler από τις οποίες προήλθε ο σύνθετος μετασχηματισμός. Τέλος, κάθε περιστροφή στον 4D χώρο είναι ένα γινόμενο , όπου είναι μια περιστροφή που διατηρεί αμετάβλητα όλα τα σημεία ενός επιπέδου και είναι μια περιστροφή που διατηρεί αμετάβλητα όλα τα σημεία ενός επιπέδου , με ορθογώνια μεταξύ τους, δηλαδή για κάθε έχουμε ότι .
    • The topic of this diplomatic work is the study of two-dimensional and three-dimensional geometric transforms widely applicable in computer games and animation: Scaling, Translation, Shearing, Reflection and Rotation. To depict these transforms we use matrices. Matrix is a common set of mathematical tools which provides a convenient way for the communication with a computer and especially with a graphic processor. The most interesting geometric transforms are the rotations as they can be combined in several ways. The simplest rotations are the Euler rotations about the three cartesian axes. From these rotations any rotation in the 3D space can be represented. When we deal with Euler composite rotations, we face a problem which called Gimbal Lock. Gimbal Lock occurs when in a three-dimensional gimbal mechanism, the system looses one degree of freedom and “locked” in a two-dimensional mechanism. This happens under defined angle combinations. For the algebraic representation of a point rotation about an arbitrary axis in space, we use Matrices, Vectors and Quaternions. Quaternions are hyper-complex numbers first described by Irish mathematician William Hamilton in 1843. One quaternion is represented in the form: where are the fundamental quaternion units and defined by: . Furthermore: and can be considered as an arranged pair of a gradual term and a vector: . The rotation of a point around an arbitrary axis in space is given by the transform: , with and , where is the rotation axis with and is the rotation angle. This rotation can be depicted by the form of a matrix. Using quaternions we can locate the position of a point in space after successive rotations. Dealing with a rotation matrix we can calculate the rotation axis, the angle of rotation and the simple Euler angles from which the transform originated. Eventually, every rotation in 4D space is a product , where is a rotation which keeps unchanged all the points of an plane, and is a rotation which keeps unchanged all the points of a plane with orthogonal each other, therefore for each we have that .
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.