Σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της ελεγξιμότητας γραμμικών συστημάτων ελέγχου πεπερασμένης και άπειρης διάστασης. Η εργασία αποτελείται από τρία κεφάλαια.
Η εισαγωγή και το πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται στις βασικές έννοιες και εφαρμογές της θεωρίας ελέγχου και περιλαμβάνουν συνοπτική παρουσίαση της ιστορικής της διαδρομής. Παρουσιάζονται οι βασικές ιδέες και έννοιες της θεωρίας ελέγχου, κάποιες από τις βασικές της εφαρμογές, καθώς και τα ζητήματα που τίθενται σε αυτό το διαθεματικό πεδίο για το μέλλον. Η ύπαρξη της ιστορικής ανασκόπησης ήταν αναγκαία, καθώς η προσέγγιση οποιουδήποτε επιστημονικού πεδίου στηρίζεται στην παρελθούσα γνώση: οι ανακαλύψεις είναι προϊόν της εργασίας πολλών ανθρώπων όπου ο καθένας καταθέτει τη δική του μικρή ή μεγάλη πρόοδο.
Στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζεται η ελεγξιμότητα γραμμικών συστημάτων ελέγχου πεπερασμένης διάστασης, τα οποία είναι συστήματα συνήθων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Δίνονται κάποιες βασικές έννοιες στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, ορισμοί διαφόρων τύπων ελεγξιμότητας ενός συστήματος, και τα απαραίτητα κριτήρια για να είναι ελέγξιμο ένα χρονοεξαρτώμενο ή χρονοανεξάρτητο σύστημα ελέγχου. Παρουσιάζεται η δυϊκότητα μεταξύ ελεγξιμότητας και παρατηρησιμότητας, καθώς και η HUM (μέθοδος μοναδικότητας Hilbert), μια μέθοδος που σχετίζεται στενά με τη δυϊκότητα μεταξύ ελεγξιμότητας και παρατηρησιμότητας.
Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάται η ελεγξιμότητα γραμμικών συστημάτων ελέγχου άπειρης διάστασης. Πολλά φυσικά συστήματα όπως τα κβαντικά συστήματα, τα μηχανικά συστήματα ρευστών, η διάδοση κυμάτων, τα φαινόμενα διάχυσης, κ.ά., έχουν μοντελοποιηθεί, μέσω των μερικών διαφορικών εξισώσεων, ώστε να μελετηθεί η συμπεριφορά τους. Τα συστήματα που μελετώνται σε αυτό το κεφάλαιο είναι της εξίσωσης μεταφοράς, της κυματικής εξίσωσης, καθώς και ένα γενικότερο πλαίσιο αφηρημένων γραμμικών συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων. Δίνονται οι απαραίτητοι ορισμοί ελεγξιμότητας και αποδεικνύονται κριτήρια ελεγξιμότητας ενός συστήματος, με τη χρησιμοποίηση διαφόρων μεθόδων όπως: η άμεση μέθοδος, η μέθοδος επέκτασης, η HUM, η δυϊκότητα μεταξύ ελεγξιμότητας και παρατηρησιμότητας.
Στο τέλος της εργασίας παρατίθενται δύο παραρτήματα, με συμβολισμούς και ορισμούς βασικών συναρτησιακών χώρων και με βασικές έννοιες της θεωρίας των γραμμικών τελεστών, καθώς και της θεωρίας ημιομάδων και ομάδων γραμμικών τελεστών, τα οποία είναι απαιτούμενα για τη μελέτη κυρίως του τρίτου κεφαλαίου.
This dissertation is concerned with the study of the controllability of linear finite and infinite dimensional control systems. It is divided in three chapters.
The Introduction and Chapter 1 provide the fundamental concepts and applications, and a concise history, of control theory. The main notions and concepts and some of the major applications of control theory are discussed. Furthermore, some of the present and possible future challenges to it are presented. A historical review is necessary, as accessing a scientific field requires the understanding of past knowledge: scientific inventions and discoveries are usually a product of the work of many persons, each of whom contributes their own small or large share to progress.
Chapter 2 addresses the controllability of linear finite dimensional control systems, which are ordinary differential equation systems. Certain essential concepts on ordinary differential equations, the definitions of the different types of a system’s controllability, and the necessary conditions for a time-varying or time-invariant control system to be controllable are cited. The duality between controllability and observability, as well as the Hilbert Uniqueness Method (HUM), are presented; the latter method is closely related to duality between controllability and observability.
Chapter 3 addresses the controllability of infinite dimensional linear control systems. Many physical systems – such as quantum systems, fluid mechanical systems, wave propagation, diffusion phenomena etc. – have been modelled via partial differential equations for their behaviour to be examined. The systems addressed in this chapter are transport equation, wave equation, and a more general framework of abstract linear control systems. The necessary controllability definitions are provided and the controllability conditions for a system proved by the utilization of various methods, including: the explicit method, the extension method, HUM, and the duality between controllability and observability.
Two appendices follow, demonstrating the symbols and definitions of some functional spaces and the fundamental notions of the theory of linear operators, and the theory of semi groups and groups of linear operators necessary predominantly for considering Chapter 3.
Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.
