Ανάλυση Πίνακα σε Ιδιάζουσες Τιμές: Θεωρία και μερικές Εφαρμογές

Singular Value Decomposition of a Matrix: Theory and some Applications (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Μηλιώτη, Ελένη
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 13 Μαίου 2018 [2018-05-13]
  5. Ελληνικά
  6. 103
  7. Μπούκας, Ανδρέας
  8. Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας | Βλάμος , Παναγιώτης
  9. Ιδιάζουσα τιμή | Διαγωνοποίηση | Ορθογώνιoς πίνακας | Ψευδοαντίστροφος | SVD
  10. 1
  11. 4
  12. 8
  13. Περιέχει : πίνακες, διαγράμματα, εικόνες
    • Κύριος στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η κατανόηση της Ανάλυσης ενός πίνακα σε Ιδιάζουσες Τιμές (Singular Value Decomposition, συντομογραφία SVD) και η περιγραφή μερικών από τις πάρα πολλές και σημαντικές εφαρμογές της. Αρχικά, παρουσιάζεται το απαραίτητο μαθηματικό υπόβαθρο από την Γραμμική Άλγεβρα. Έπειτα, καθορίζονται οι συνθήκες τις οποίες πρέπει να ικανοποιεί ένας πίνακας, ώστε να είναι ορθογώνια διαγωνοποιήσιμος και αναλύονται τρεις μέθοδοι της Ορθογώνιας Διαγωνοποίησης ενός τετραγωνικού πίνακα: Ανάλυση ιδιοτιμών, Ανάλυση Schur και Ανάλυση Hessenberg. Στη συνέχεια της διπλωματικής εργασίας παρουσιάζεται η ανάλυση ενός όχι αναγκαστικά τετραγωνικού πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές σε τρεις μορφές, μια σύντομη μορφή που συλλαμβάνει την κύρια ιδέα , μια διευρυμένη μορφή που εξηγεί τις λεπτομέρειες και τέλος η μορφή της ανηγμένης ανάλυσης ιδιάζουσας τιμής η οποία εκφράζει έναν πίνακα τάξεως k ως γραμμικό συνδυασμό k πινάκων τάξεως 1. Στο τελευταίο μέρος της εργασίας πραγματοποιείται η μελέτη μερικών εφαρμογών της ανάλυσης ενός πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές, όπως η εύρεση του ψευδοαντίστροφου πίνακα Moore-Penrose και η εφαρμογή του στην επίλυση γραμμικού συστήματος, ο ρόλος της SVD στη συμπίεση εικονικής πληροφορίας με σκοπό τη μείωση του απαιτούμενου χώρου αποθήκευσης, η σχέση που έχει η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές με την ανάλυση σε κύριες συνιστώσες (PCA) και τέλος, η εφαρμογή της SVD στην επεξεργασία και μοντελοποίηση της γονιδιακής έκφρασης. Στο παράρτημα παρουσιάζονται παραδείγματα ορθογώνιας διαγωνοποίησης πινάκων που μελετήθηκαν με το πρόγραμμα Mathematica.
    • The scope of this thesis is to understand the Singular Value Decomposition of a matrix and to describe some of its many and important applications. First of all, the necessary mathematical framework from Linear Algebra is presented. Next, the conditions a matrix must meet to be orthogonally diagonalizable are determined and three methods of Orthogonal Diagonalization of a matrix are introduced: Eigenvalues Decomposition, Schur Decomposition and Hessenberg Decomposition. Furthermore, the Singular Value Decomposition of a not necessarily square matrix is displayed in three forms, a brief form that captures the main idea, an expanded form that expounds the details and one reduced Singular Value Decomposition form that expresses a matrix of rank k as a linear combination of k matrices of rank 1. In the last part of this thesis some applications of the Singular Value Decomposition of a matrix are studied, such as the calculation of the Moore-Penrose pseudoinverse matrix and its application to the solution of a linear system, the role of Singular Value Decomposition in the compression of digital information in order to reduce the required storage, the connection between Singular Value Decomposition and Principal Component Analysis and finally the application of Singular Value Decomposition in the processing and modeling of gene expression. In the appendix, examples of orthogonal diagonalization of matrices that were done with the use of Mathematica, are shown.
  15. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.