Ειδικά Θέματα Μαθηματικών, Στοιχεία Κυματικής Διάδοσης και Εφαρμογές/ Χ. Αθανασιάδης
Τα προβλήματα της αντίστροφης σκέδασης αφορούν στην εύρεση συγκεκριμένων χαρακτηριστικών ενός αντικειμένου από γνώση του μακρινού πεδίου λόγω της πρόσπτωσης σφαιρικών ή επίπεδων κυμάτων από διάφορες κατευθύνσεις. Οι εφαρμογές αυτών είναι πολυάριθμες, όπως π.χ. στην Γεωφυσική, στη Σεισμολογία καθώς επίσης και στην ανίχνευση θέσης και χαρακτηριστικών υποβρύχιων αντικειμένων. Εξίσου σημαντική είναι η εφαρμογή των προβλημάτων αυτών και στην Βιοϊατρική τεχνολογία, όπως στο Υπερηχογράφημα και τον γνωστό σε όλους μας Τομογράφο.
Στη Διπλωματική Εργασία θα ασχοληθούμε με τη μελέτη τεχνικών αντίστροφης σκέδασης κοντινού πεδίου καθώς και τις εφαρμογές τους στην Βιοϊατρική Τεχνολογία. Ένα κλασικό πεδίο εφαρμογής αφορά τη διέγερση του ανθρώπινου εγκεφάλου.
Προς αυτή την κατεύθυνση, θα θεωρήσουμε ένα απλοποιημένο αλλά εν τούτοις αρκετά ρεαλιστικό μοντέλο διέγερσης, το οποίο είναι ένα μαγνητικό δίπολο που ακτινοβολεί εντός μία ομογενούς διηλεκτρικής σφαίρας ακτίνας a.
Πιο συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 1, θα διατυπώσουμε τις εξισώσεις (νόμους) Maxwell και θα αποδείξουμε την εξίσωση συνέχειας και την κυματική εξίσωση. Στην συνέχεια του κεφαλαίου θα αναφέρουμε κάποιες από τις πιο βασικές συνοριακές συνθήκες των προβλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων.
Στο Κεφάλαιο 2, θα διατυπώσουμε τα πλάτη σκέδασης, τις ενεργειακές διατομές σκέδασης καθώς και κάποια από τα βασικά θεωρήματα που διέπουν τα σφαιρικά ηλεκτρομαγνητικά κύματα.
Στο Κεφάλαιο 3, θα διατυπώσουμε το ηλεκτρομαγνητικό πρόβλημα σκέδασης σφαιρικών ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων από ένα τμηματικά ομογενή πολυστρωματικό σκεδαστή. Έπειτα, θα γίνει εφαρμογή της μεθόδου Sommerfeld και T-Matrix για την εύρεση των αδιάστατων συντελεστών που εμπλέκονται στην αναλυτική λύση (υπό την μορφή σειρών) των πεδίων.
Στο τελευταίο Κεφάλαιο θα ασχοληθούμε ειδικά με το πρόβλημα της σκέδασης σφαιρικών ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων από διηλεκτρικό σφαιρικό σκεδαστή με σκοπό να υπολογίσουμε αναλυτικά τους αδιάστατους συντελεστές που εμφανίζονται στην λύση. Τέλος, θα παρουσιάσουμε γραφικά τα αποτελέσματα στα οποία καταλήξαμε καθώς επίσης και κάποιες σημαντικές εφαρμογές της συγκεκριμένης εργασίας στη Βιοϊατρική.
Inverse scattering problems concern the determination of specific features of
an object using the information of the far-field created by spherical- or plane-wave incidence
from different directions. Their applications are numerous, as e.g. in
Geophysics, Seismology and localization and characterization of
underwater objects. Equally important is the implementation of these problems in
Biomedical Technology, such as Ultrasound Imaging and the widely known Tomograph.
In this Diploma Thesis we will deal with inverse scattering techniques as well
as their applications in Biomedical Technology.
A classical application domain relates to the stimulation of the human
brain. In this direction, we will consider a simplified but nonetheless
a fairly realistic excitation model, which is a magnetic dipole that radiates
within a homogeneous dielectric sphere of radius a.
More precisely, in Chapter 1, we will formulate the Maxwell's equations (laws) as well as the equations of continuity and the wave equation. Also, we will mention some of the most classic boundary conditions for the problems of electromagnetic wave scattering.
In Chapter 2, we will formulate the far-field pattern, the scattering cross sections as well as some of the basic theorems governing spherical electromagnetic waves.
In Chapter 3, we will formulate the electromagnetic scattering problem of spherical electromagnetic waves from a piecewise homogeneous (multilayered) scatterer. The Sommerfeld and T-Matrix methods will be applied to find the coefficients involved in the analytical field solutions.
In the last chapter we will deal specifically with the problem of scattering of spherical electromagnetic waves by a dielectric spherical scatterer in order to analyze the coefficients involved in the solution. Finally, we will graphically represent the obtained results as well as some important applications of this particular work in Biomedicine.
Τεχνικές αντίστροφης σκέδασης κοντινού πεδίου για προβλήματα σημειακής διέγερσης σφαιρικών μέσων