Η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων έχει γίνει ένα βασικό εργαλείο της οικονομικής ανάλυσης, δεδομένου μάλιστα ότι ο υπολογιστής έχει γίνει κοινώς διαθέσιμος. Θα ήταν δύσκολο να κατανοήσουμε τις σύγχρονες οικονομικές θεωρίες αν δεν κατανοήσουμε βασικές έννοιες και τα αποτελέσματα της σύγχρονης θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων.
Τα μαθηματικά έχουν χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη φαινομένων του πραγματικού κόσμου, αλλά και δημιουργημάτων του ανθρώπου, από την αρχαιότητα έως σήμερα Πράγματι, στην προσπάθεια του ανθρώπου να επιλύσει βασικά του προβλήματα, και να αναπτύξει πολιτισμό, βασικό ρόλο έπαιξε η περιγραφή φαινομένων ή διαδικασιών με τη χρήση μαθηματικών εννοιών και συμβόλων. Αυτή τη μαθηματική περιγραφή συνήθως την ονομάζουμε μαθηματικό μοντέλο.
Μια διαφορική εξίσωση είναι ένα τέτοιο μαθηματικό μοντέλο το οποίο στην πολύ γενική περιγραφή αφορά φαινόμενα, δραστηριότητες ή διαδικασίες που μπορούν να προέρχονται από τελείως διαφορετικά επιστημονικά πεδία, όπως από τις φυσικές επιστήμες, τις επιστήμες της μηχανικής, τα οικονομικά, τις κοινωνικές επιστήμες αλλά και τις ανθρωπιστικές σπουδές. Από όλα τα παραπάνω πιθανά επιστημονικά πεδία, εδώ θα εστιάσουμε στα μαθηματικά μοντέλα που αφορούν κυρίως την οικονομική επιστήμη.
Η εφαρμογή γραμμικών και μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, για την μελέτη και πρόβλεψη βασικών οικονομικών μεγεθών, έχει παρουσιάσει αλματώδη ανάπτυξη, ήδη από την δεκαετία του 40’. Στην εργασία αυτή, θα πραγματοποιηθεί μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς που ορίζεται από μια ευρεία κλάση εξισώσεων που αποτελούν θεμελιώδη μαθηματικά μοντέλα της οικονομίας. Ξεκινώντας από την μελέτη σχετικών βαθμωτών ροών (μοντέλα Domar, κέρδους-επενδύσεων, νέο-κλασσικά μοντέλα κέρδους-ανάπτυξης), θα επεκταθούμε σε συστήματα ανώτερης τάξης (IS-LM μοντέλο της οικονομίας, μοντέλα πολιτικών σταθεροποίησης, κλπ).
Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η εισαγωγή σε σύγχρονα ερευνητικά θέματα που αφορούν την ασυμπτωτική συμπεριφορά μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων και τις μαθηματικές θεωρίες και τεχνικές αντιμετώπισής τους. Παράλληλα, θα αποτελέσει και εισαγωγή σε σύγχρονες προσεγγίσεις στην θεματολογία αυτή, οι οποίες συνδυάζουν τις αναλυτικές μεθόδους με αριθμητικά πειράματα και την συσχέτισή τους με άλλες επιστήμες.
Mathematics have always been used for the study of phenomena of real world, but also creations of man, from the antiquity until today. In point of fact, in the effort of man to solve his basic problems, and to develop culture, fundamental role played the description of phenomena or processes with the use of mathematic significances and symbols. This mathematic description usually is known as mathematic model.
A differential equation is such a mathematic model which in the very general description concerns phenomena, activities or processes that can emanate from perfectly different scientific fields, as from the natural sciences, the sciences of mechanics, the finances, the social sciences but also the humanitarian study. From all the above likely scientific fields, here we will focus in the mathematic models that concern mainly the economic science.
The application linear and non-linear differential equations, for the study and forecast of basic economic indexs, has already presented tremendous growth, from decade of 40’s. In this work, we will attempt to study the dynamic behavior from a wide rage of equations that constitutes fundamental mathematic models of economy. Beginning from the study of relative scalar flows (models of Domar, profit-investment, classical models of profit-growth), we will extend in systems of higher order (IS-LM model of economy, models of policies of stabilisation, etc).
Aim of this work is the import in modern inquiring subjects that concern the asymptotic behavior of non-linear differential equations and the mathematic theories and their techniques of confrontation. At the same time, it will constitute also import in modern approaches in this issues, that combine the analytic methods with numerical experiments and their cross-correlation with other sciences.
Δυναμική Ροών στην Οικονομία