Επίπεδα Δυναμικά Συστήματα, Planar Dynamical Systems | Διανυσματικό Πεδίο, Vector field | Πορτραίτο Φάσεων, Phase Portrait | Κανονικές Μορφές, Normal Forms | Στοιχειώδεις Ιδιομορφίες, Elementary Singularities | Blow-Up | Σταθερές Lyapunov-Lyapunov Constants
2
4
Σχήματα που απεικονίζουν πορτραίτα φάσεων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
Η εργασία αυτή, εκπονήθηκε στα πλαίσια του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου και πραγματεύεται τα επίπεδα δυναμικά συστήματα, συστήματα διαφορικών εξισώσεων με αναλυτικές πολυωνυμικές συναρτήσεις. Στα κεφάλαια που περιγράφονται, δίνονται βασικές και θεμελιώδεις έννοιες συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων αυτών, δίνοντας έμφαση σε τοπολογικές συμπεριφορές, χωρίς εύρεση της αναλυτικής λύσης. Διατυπώνονται τα θεωρήματα ύπαρξης, μοναδικότητας και εξάρτησης απο τις αρχικές συνθήκες όπως και μελετάται η γραφική απεικόνιση τέτοιων συστημάτων που ονομάζεται πορτραίτο φάσεων.
Μελετώνται θεμελιώδεις ιδιομορφίες διαφορικών συστημάτων, γραφοντάς τα με την ισοδύναμη μορφή του αντίστοιχου διανυσματικού πεδίου, τα υπερβολικά και τα ημιυπερβολικά σημεία ιδιομορφίας. Τα πρώτα είναι σημεία με δυο ιδιοτιμές χωρίς μηδενικό πραγματικό μέρος και τα δεύτερα έχουν μοναδική μη μηδενική ιδιοτιμή. Επίσης, δίνονται οι κανονικές μορφές για τέτοιου είδους ιδιομορφίες.
Δίνουμε το βασικό εργαλείο για τη μελέτη μη θεμελιωδών ιδιομορφιών για τα επίπεδα δυναμικά συστήματα, το οποίο βασίζεται σε αλλαγή μεταβλητών, που καλούνται Blow-Ups. Χρησιμοποιείται αυτή η τεχνική για μηδενοδύναμες ιδιομορφίες, δηλαδή για ιδιομορφίες με μηδενικές και τις δύο ιδιοτιμές, χωρίς το γραμμικό μέρος τους να είναι ταυτοτικά μηδέν. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται ένας αλγόριθμος για την διάκριση μεταξύ κέντρων και εστιών, ένα πρόβλημα που γενικά είναι αδύνατο να λυθεί, εκτός της περίπτωσης που το σημείο ιδιομορφίας είναι γραμμικό κέντρο.
This thesis was carried out within the framework of the postgraduate program of
the Hellenic Open University and it deals with planar dynamical systems, systems of differential equations with analytic polynomials. In the following chapters, fundamental notions of differential equations and systems of differential equations are given, emphasising in topological behaviours, without finding analytical expression for their solution.
We recall the theorem of existence, uniqueness and continuous dependence on initial conditions, as well as the graphical representation of the systems, called phase portrait. Elementary singular points of differential systems are being studied, writing them in
the equivalent form of their corresponding vector field, i.e. the hyperbolic and semi hyperbolic elementary singularities. The first are those having two eigenvalues with
non zero real part, whereas the second, have a unique non zero eigenvalue. Also, normal forms of these singularities are being given.
We present the basic tool for studying non elementary singularities for planar dynamical systems, which is based on changes of variables called Blow-Ups. This technique is
being used for nilpotent singularities, namely singularities having both eigenvalues
zero but their linear part not identically zero. Subsequently, an algorithm for discrimination between focuses and centers is given, a problem which generally is impossible to
solve, except for the case of a singular point being a linear center.