Τα Άλυτα Προβλήματα Της Αρχαιότητας. Το Δήλιον πρόβλημα ή ο διπλασιασμός του κύβου, ο τετραγωνισμός του κύκλου και η τριχοτόμηση γωνίας.

The Unsolved Problems of Antiquity. The Delion problem or the doubling of the cube, the squaring of the circle and the trisection of an angle . (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Νικόλη, Μαρία
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 16 Μαίου 2021 [2021-05-16]
  5. Ελληνικά
  6. 81
  7. Μπούκας, Ανδρέας
  8. Τα Άλυτα Προβλήματα Της Αρχαιότητας | Δήλιον πρόβλημα | Τετραγωνισμός του κύκλου | η τριχοτόμηση γωνίας | Gauss | Lindemann | Το αδύνατο της επίλυσής τους | The Unsolved Problems of Antiquity | The Delion problem | The squaring of the circle | The trisection of an angle | The impossible of their solution
  9. 11
  10. 13
  11. Περιέχει : σχήματα, εικόνες
    • Οι Αρχαίοι Έλληνες είχανε δείξει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τις γεωμετρικές κατασκευές και ιδιαιτέρως για εκείνες στις οποίες η κατασκευή τους απαιτεί να γίνει χρήση μόνο του κανόνα (αβαθμολόγητου χάρακα) και του διαβήτη. Βέβαια υπήρξαν κατασκευές όπου ήταν δυνατό να πραγματοποιηθούν με την χρήση μόνο αυτών των δύο οργάνων (δηλαδή με την βοήθεια των κύκλων και ευθειών) , και κατασκευές που ήταν αδύνατο να ολοκληρωθούν μόνο με τον κανόνα και τον διαβήτη. Αυτό είχε σαν συνέπεια οι Αρχαίοι Έλληνες Γεωμέτρες να στραφούν και σε άλλες μεθόδους κάνοντας χρήση και πιο σύνθετων καμπυλών όπως οι κωνικές τομές , η τετραγωνίζουσα, είτε χρησιμοποιώντας και επιπλέον όργανα όπως το μεσολάβιον. Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η παρουσίαση επιλεγμένων κατασκευών όπως των κανονικών πολυγώνων που πραγματοποιούνται τηρώντας τις δύο αρχικές προϋποθέσεις που είχαν θέσει οι Αρχαίοι Έλληνες , και επιπλέον επιχειρείται η παρουσίαση «των τριών Άλυτων προβλημάτων» και λύσεις που εμφανίστηκαν από την Αρχαιότητα μέχρι την τελική απάντηση που δόθηκε για αυτά. Θα αναφερθούμε στον Carl Friedrich Gauss όπου σε ηλικία μόλις 19 ετών ασχολήθηκε με την κατασκευή κανονικών πολυγώνων. Σε αυτόν οφείλουμε πολλές από τις ανακαλύψεις που πραγματοποιήθηκαν στα μαθηματικά στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα , όπως η κατασκευή του κανονικού 17 –γωνου με κανόνα και διαβήτη , κατασκευή για την οποία ο ίδιος ήταν ιδιαίτερα υπερήφανος. Θα αναφερθούμε επίσης στον κανόνα του Gauss , για το ποια ακριβώς n – γωνα είναι κατασκευάσιμα. Στην παρούσα εργασία θα επιχειρήσουμε να αναφερθούμε στα γεωμετρικά προβλήματα που ταλάνιζαν τους Αρχαίους Έλληνες και γενιές μαθηματικών αργότερα , δηλαδή «το Δήλιον πρόβλημα» το πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου , «την τριχοτόμηση γωνίας» και το περίφημο «πρόβλημα τετραγωνισμού του κύκλου». Θα γίνει αναλυτική παρουσίαση των προσπαθειών επίλυσης των παραπάνω τριών προβλημάτων έως ότου θα αποδειχθεί το αδύνατο της επίλυσής τους. Γίνεται εκτενής αναφορά στο θεώρημα του Lindemann όπου το 19ο πλέον αιώνα πραγματοποιείται η απόδειξη της υπερβατικότητας του π. Με την απόδειξη αυτή παγιώθηκε το αδύνατο του τετραγωνισμού του κύκλου με κανόνα και διαβήτη σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Αν και έχει αποδειχθεί πως είναι αδύνατος ο διπλασιασμός του κύβου , η τριχοτόμηση μιας γωνίας και ο τετραγωνισμός του κύκλου , αρκετοί είναι εκείνοι παγκοσμίως όπου επιδιώκουν ακόμη να βρουν την λύση τους. Είναι οι φιλόδοξοι μαθηματικοί που μπορεί να γνωρίζουν αρκετά καλή Γεωμετρία αλλά όχι τόσο καλά προτασιακή και κατηγορηματική Λογική ώστε να συνειδητοποιήσουν το αδύνατο των παραπάνω αποδείξεων είτε δεν είναι σε θέση να αντιληφθούν το λάθος της μεθόδου τους. Σκοπός της παρακάτω εργασίας λοιπόν είναι να γίνει μια αναφορά στις γεωμετρικές κατασκευές που προαναφέραμε και στις πολύ σπουδαίες λύσεις που παρουσιάστηκαν από καταξιωμένους μαθηματικούς όπως ο Αρχιμήδης , ο Ιπποκράτης , ο Ιππίας κ.α. Τέλος έχοντας αποδειχτεί το αδύνατο επίλυσής τους , καλό είναι να συνειδητοποιήσουν οι μαθηματικοί οι οποίοι επιδιώκουν να βρουν την λύση των τριών Άλυτων προβλημάτων πως υπάρχουν μαθηματικά προβλήματα τα οποία είναι αδύνατα στην λύση τους με μια τελική απόλυτη έννοια. Ας αφήσουμε στην άκρη τις θεωρίες συνωμοσίας που αναφέρονται στην αποτροπή της γνωστοποίησης της μεγάλης τους ανακάλυψης και ας σκεφτούμε πως μια πράξη που παραβιάζει τους κανόνες ενός μαθηματικού παιχνιδιού είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί όσο αδύνατο είναι να κινηθεί η Βασίλισσα σαν Ίππος στο σκάκι.
    • The Ancient Greeks have show particular interest in geometric structures and particularly in those which their structure needs using only the ruler (ungraded ruler) and the compass. There were surely structures which could be carried out with the use of only those two instruments (in other words with the help of circles and lines), and structures which were impossible to be completed only with the ruler and compass. This had as a consequence the fact that the Ancient Greek Geometers to other methods using more complicated curves like conic sections, the squared, either using both additional instruments like the mediator. In this present assignment the presentation of selected structures like normal polygons, which are done keeping with the two basic requirements which the Ancient Greek have set, is attempted and moreover, the presentation of «the three Unsolved problems» and the solutions which were shown up from the Ancient times till the final answer, which is given for these, is attempted. We will refer to Carl Friedrich Gauss, who at the age of 19 years old dealt with the construction of normal polygons. To whom we owe many of the inventions, which were accomplished in maths in the second half of 19th century, like the construction of normal 17-gons with the ruler and compass, construction of which he himself was particularly proud. Furthermore, we will refer to Gauss’ rule for which n-gons are preusely constructable. In this present assignment, we will attempt to refer to geometric problems that beset the Ancient Greeks and generations of mathematician later, like «the Delion problem», the problem of doubling the cube, «the trisection of an angle» and the famous «problem of quadrature of the circle». We will present in detail the trials solving the three problems above until the impossible of their solution will be proved. Extensive reporst to Lindeman’s theorem, which in 19th century the proof of transcendence of π. With this proof, the impossible of the quadrature of the circle have been proved, there are many worldwide who still strive to find their solution. There are those ambitions mathematicians who may have a very good Knowledge of Geometry but not so good propositional and predicate Logic, so as to realize the impossible of the above proofs or they can’t realize the mistake of their method. So the aim of the below assignment is to make a report of geometrical constructions which we outline above and the most important solutions that were presented by acclaimed mathematicians like Archimedes, Hippocrates, Hippias etc. Finally, having accepted the impossible of their solution, it is good for mathematicians, who pursue to find a solution of the three Unsolvable problems, to realize that there are mathematical problems, which are impossible to be solved with an ultimate dogmatic concept. Let’s put aside the conspiracy theories which refer to the preclusion of notification of their great invention and let’s consider that the transaction, which violates the rules of a mathematical game, is as impossible to be carried out as for the Queen to be moved like a horse in chess.
  13. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.