Η έννοια της ευστάθειας σε συνήθεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις

The concept of stability in ordinary and partial differential equations (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. Ευθυμίου, Ελευθέριος
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 11 Μαίου 2019 [2019-05-11]
  5. Ελληνικά
  6. 106
  7. Καραχάλιος , Νικόλαος
  8. Καραχάλιος , Νικόλαος | Παπαδόπουλος , Βασίλειος
  9. Δυναμικά Συστήματα | Dynamic Systems | Ευστάθεια | Stability | Σημεία Ισορροπίας | Equilibrium Point | Διακλάδωση | Bifurcation | Γραμμικό Σύστημα | Linear System | Μη Γραμμικό Σύστημα | Non Linear System | Οριακός Κύκλος | LImit Cycle | Κεντρική Πολλαπλότητα | Central Manifold | Μη Γραμμικές Μερικές διαφορικές Εξισώσεις | Non Linear Partial Diferential Equations | εξισώσεις Allen-Cahn | Allen-Cahn Equations | εξισώσεις Ginzburg-Landau | Ginzburg-Landau Equations
  10. 6
  11. 24
  12. Περιέχει : σχήματα - καμπύλες , διαγράμματα φάσης , διαγράμματα διακλάδωσης
    • “Ο κόσμος είναι πολύ περισσότερο μη-γραμμικός από όσο μέχρι πρόσφατα νομίζαμε”. Με τον έναν ή τον άλλο τρόπο λαμβάνουμε την διαβεβαίωση αυτή από το σύνολο σχεδόν των σύγχρονων επιστημών. Η κλασσική φυσική (μηχανική) αποτέλεσε για την συντριπτική πλειοψηφία των επιστημών την βασική πηγή “έμπνευσης” των θεωρητικών και μεθοδολογικών τους εργαλείων. Το σύνολο των θεωρητικών-φιλοσοφικών παραδοχών και πορισμάτων στα οποία βασίζεται η κλασσική μηχανική αποτέλεσε αυτό που ιστορικά ονομάζεται μηχανιστική κοσμοαντίληψη. Η βασική υπόθεση-παραδοχή της κοσμοαντίληψης αυτής είναι ότι γραμμικές λογικές και μοντέλα είναι επαρκή και ώστε να συνοψίζουν την ουσία του κόσμου των φαινομένων. Η μη γραμμικότητα αντιμετωπίζεται ως “μη ουσιώδης” ως “άσχετη με την πραγματική ουσία των φαινομένων” είναι κάτι που οφείλεται στην “πολυπλοκότητα του πραγματικού κόσμου” με την έννοια της ύπαρξης πλήθους επιδράσεων “ξένων” προς το σύστημα ή είναι κάτι που οφείλεται στην ανεπάρκεια μας να γνωρίζουμε σε κάθε περίπτωση με ακρίβεια το σύνολο των δεδομένων. Η ανεπάρκεια της γραμμικής αντίληψης σύντομα αποδείχτηκε τόσο στην φυσική όσο και την βιολογία, τα μαθηματικά και τις κοινωνικές επιστήμες. Είναι σαφές ότι η μη-γραμμικότητα σε πολλές περιπτώσεις παράγεται ενδογενώς σε ένα φαινόμενο ως προϊόν της αλληλεπίδρασης των συστατικών του μερών. Επιπλέον η δυναμική συμπεριφορά των πραγματικών συστημάτων είναι η ίδια πολύπλοκη και δεν μπορεί να συνοψιστεί πάντα με την απαιτούμενη θεωρητική ακρίβεια με γραμμικές σχέσεις. Η σύγχρονη θεωρία της πολυπλοκότητας επικεντρώνεται στην ανάπτυξη μιας νέας επιστημονικής αντίληψης η οποία είναι θεμελιωδώς μη-γραμμική και η οποία καλύπτει τις ανεπάρκειες της κλασσικής μηχανικής. Η εργασία είναι οργανωμένη σε 7 κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο κάνουμε μια εισαγωγή στα γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Ξεκινάμε με βασικούς ορισμούς και θεωρήματα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων (όπως αυτόνομα γραμμικά συστήματα, τροχιές και σημείο ισορροπίας, ευστάθεια σημείων ισορροπίας, Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας) στην συνέχεια αναφέρονται οι βασικοί ορισμοί της θεωρίας των διακλαδώσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στα μη γραμμικά συστήματα. Ξεκινάμε με βασικές έννοιες των μη γραμμικών συστημάτων. Περιγράφονται βασικά θεωρήματα, όπως το Θεώρημα Hartman-Grobman το θεώρημα ευσταθούς και κεντρικής πολλαπλότητας και τέλος το θεώρημα Lyapunov. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετώνται οι οριακοί κύκλοι και το θεώρημα Poincare Bendixson. Το τέταρτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη θεωρία διακλαδώσεων. Αναφέρονται οι βασικές διακλαδώσεις: διακλάδωση σάγματος-κόμβου, υποκρίσιμη διακλάδωση, διακλάδωση διχάλας και διακλάδωση Hopf. Κάθε είδος διακλάδωσης αναφέρεται ξεχωριστά και ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στη διακλάδωση Hopf. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετήσαμε τη βασική θεωρία ευστάθειας για μερικές διαφορικές εξισώσεις. Και τέλος στο έκτο και έβδομο κεφάλαιο ασχολούμαστε με την μαθηματική ανάλυση των εξισώσεων Allen-Cahn και Ginzburg-Landau.
    • “World is much more non-linear than we thought until recently”. In one way or another, we receive this assurance from almost all of the modern sciences. Classical physics (engineering) was for the overwhelming majority of sciences the basic source of "inspiration" of their theoretical and methodological tools. The set of theoretical-philosophical assumptions and conclusions on which classical engineering is based has been what has historically been called mechanistic worldview. The basic hypothesis-assumption of this worldview is that linear logic and models are sufficient to sum up the essence of the world of phenomena. Non-linearity is treated as "non-essential" as "irrelevant to the real essence of phenomena" is due to the "complexity of the real world" in the sense of having a host of "strange" effects on the system or is due to the inadequacy let us know in each case exactly the whole set of data. The inadequacy of linear perception soon turned out to be in physics as well as in biology, mathematics and social sciences. It is clear that non-linearity in many cases is endogenously produced in a phenomenon as a product of the interaction of the components of the parts. In addition, the dynamic behavior of real systems is complex and cannot always be summed up with the required theoretical accuracy with linear relationships. The modern theory of complexity focuses on the development of a new scientific concept that is fundamentally non-linear and covers the inadequacies of classical engineering. The work is organized in 7 chapters. In the first chapter we present an introduction to linear systems of differential equations. We begin with basic definitions and theorems of linear differential equations (such as autonomous linear systems, trajectories and equilibrium points, stability of equilibrium points, theorem of existence and uniqueness), and then the basic definitions of the theory of bifurcation. In the second chapter we study non-linear systems. We start with basic theory for non-linear systems. Basic theorems, such as Hartman-Grobman's theorem, central manifold and Lyapunov theorem are described. In the third chapter, limit cycles and Poincare Bendixson theorem are studied. The fourth chapter is devoted to bifurcation theory. The basic bifurcations are: pitchfork bifurcation, transcritical bifurcation, fold bifurcation, saddle-node bifurcation and Hopf bifurcation. Each bifurcation is mentioned separately, and particular emphasis is given to Hopf bifurcation. In the fifth chapter we studied the basic stability theory for partial differential equations. Finally, in the sixth and seventh chapter we study the equations Allen-Cahn and Ginzburg-Landau.
  14. Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.