Η παρούσα διπλωματική εργασία εξετάζει τη μετάβαση από τη Νευτώνεια Μηχανική στη
Λαγκρανζιανή Μηχανική. Η εργασία έχει ως σκοπό, αφενός να παρουσιάσει με
συστηματικό τρόπο μια εναλλακτική θεωρία για την περιγραφή των μηχανικών
συστημάτων, την αναλυτική μηχανική κατά Lagrange, αφετέρου να την αξιοποιήσει για τη μελέτη φυσικών συστημάτων που συναντώνται στα προγράμματα σπουδών στη
Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Οι επιμέρους στόχοι της εργασίας είναι:
1. Να παρουσιάσει με εύληπτο τρόπο τις έννοιες που θεμελιώνουν τη Λαγκρανζιανή
μηχανική.
2. Να αναδείξει την ανάγκη της μετάβασης από τη Νευτώνεια στη Λαγκρανζιανή θεώρηση.
3. Να καταγράψει τα πλεονεκτήματα που προσφέρει η Λαγκρανζιανή θεώρηση σε σχέση
με τη Νευτώνεια.
4. Να αναδείξει τη Λαγκρανζιανή προσέγγιση ως εναλλακτικό και συμπληρωματικό
εργαλείο στη διδασκαλία της φυσικής.
Αρχικά, επιχειρείται μια ανασκόπηση της Νευτώνειας μηχανικής που περιλαμβάνει τον
νόμο της παγκόσμιας βαρύτητας, τους θεμελιώδεις νόμους της κίνησης και τη σχέση αυτών με τη διατήρηση της ενέργειας και της ορμής. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται τα όρια ισχύος της θεωρίας, όπως και ορισμένα φαινόμενα που αδυνατεί να εξηγήσει. Επίσης, αναδεικνύονται οι περιορισμοί της Νευτώνειας προσέγγισης σε συστήματα που υπόκεινται σε περιορισμούς και στα οποία καθίσταται δύσκολη η διαχείριση των δυνάμεων που επιβάλλουν αυτούς τους περιορισμούς, όπως και η εξάρτηση από συγκεκριμένα συστήματα συντεταγμένων.
Το κύριο μέρος της εργασίας εστιάζει στη Λαγκρανζιανή θεώρηση, η οποία στηρίζεται στις αρχές των δυνατών έργων και του D’ Alembert. Οι αρχές αυτές αποτελούν τη γέφυρα της μετάβασης από τη Νευτώνεια στη Λαγκρανζιανή μηχανική. Εισάγονται οι έννοιες των δεσμών, των βαθμών ελευθερίας και των γενικευμένων συντεταγμένων, ενώ αναπτύσσεται η Λαγκρανζιανή συνάρτηση ως θεμελιώδες εργαλείο ενεργειακής περιγραφής της κίνησης.
Παρουσιάζονται οι εξισώσεις Euler–Lagrange για συστήματα διατηρητικά και μη
διατηρητικά, η έννοια των διατηρούμενων ποσοτήτων και η μεθοδολογία υπολογισμού των αντιδράσεων των δεσμών μέσω των πολλαπλασιαστών Λαγκράνζ.

This diploma thesis examines the transition from Newtonian to Lagrangian Mechanics. The purpose of the thesis is to systematically present an alternative theory for the description of mechanical systems, namely analytical mechanics according to Lagrange, and to apply it to the study of physical systems encountered in secondary education curricula.
The specific objectives of the thesis are:
1. To present in an accessible manner the concepts that form the foundation of Lagrangian mechanics.
2. To highlight the necessity of the transition from the Newtonian to the Lagrangian perspective.
3. To record the advantages offered by the Lagrangian approach in comparison with the Newtonian one.
4. To demonstrate the Lagrangian approach as an alternative and complementary tool in the teaching of physics.
The thesis offers an overview of Newtonian mechanics, including the law of universal gravitation, the fundamental laws of motion, and their relationship to the conservation of energy and momentum. Subsequently, it presents the limitations of the theory, along with certain phenomena that require further explanation. Additionally, the thesis highlights the limitations of the Newtonian approach in systems subject to constraints, where it becomes difficult to manage the forces imposing these constraints, as well as its dependence on specific coordinate systems.
The main part of the thesis focuses on the Lagrangian formulation, which is based on the principles of virtual work and d’Alembert’s principle. These principles constitute the bridge for the transition from Newtonian to Lagrangian mechanics. The concepts of constraints, degrees of freedom, and generalized coordinates are also introduced, while the Lagrangian function is developed as a fundamental tool for the energy-based description of motion. Finally, the Euler–Lagrange equations for conservative and non-conservative systems are presented, together with the concept of conserved
quantities and the methodology for calculating constraint reactions through the use of Lagrange multipliers.