Η μελέτη της θεωρίας που αφορά τους Μεγιστικούς τελεστές και τα θεωρήματα διαφόρισης είναι ένα σημαντικό πεδίο του κλάδου της Mαθηματικής ανάλυσης, που εξετάζει τη δυνατότητα ανάκτησης σημειακών τιμών μίας συνάρτησης μέσω των μέσων τιμών τους σε περιοχές που συρρικνώνονται γύρω από ένα σημείο, με αποτέλεσμα την ανάδειξη μίας σύνδεσης ολοκληρωτικής και σημειακής συμπεριφοράς συναρτήσεων. Στην μελέτη της διαφόρισης ως προς μία βάση ιδιαίτερη σημασία έχει η διερεύνηση του ρόλου της γεωμετρίας της οικογένειας των συνόλων που τη συγκροτούν. Σκοπός της παρούσας εργασίας λοιπόν είναι η συστηματική μελέτη της διαφόρισης ως προς τη βάση των ορθογωνίων με παράλληλους άξονες, με ιδιαίτερη έμφαση στην ανάδειξη του ρόλου της γεωμετρίας της συγκεκριμένης κατηγορίας συνόλων στη διαδικασία. Αρχικά λοιπόν αναλύεται το μεθοδολογικό πλαίσιο διαφόρισης ως προς τη βάση των Ευκλείδειων μπαλών, μέσω του οποίου η ασθενής εκτίμηση τύπου για τον μεγιστικό τελεστή Hardy- Littlewood οδηγεί στο κλασικό Θεώρημα Διαφόρισης του Lebesgue. Στη συνέχεια αναδεικνύεται ότι η αλλαγή βάσης και η μετάβαση στη βάση ορθογώνιων με άξονες παράλληλους, λόγω γεωμετρικών ιδιαιτεροτήτων που έχουν συγκριτικά με τις μπάλες, οδηγούν στην αποτυχία της ασθενούς εκτίμησης τύπου για τον αντίστοιχο ισχυρό μεγιστικό τελεστή και κατά συνέπεια αποτυγχάνει η επέκταση του μεθοδολογικού πλαισίου διαφόρισης που αποδεικνύει τη διαφόριση ως προς τις μπάλες σε ολόκληρη την κλάση  στην περίπτωση της νέας βάσης. Για την ανάδειξη του ρόλου της Γεωμετρίας της βάσης στη διαδικασία της Διαφόρισης αποτελεί κεντρικό πυρήνα της παρούσας εργασίας, η ανάπτυξη μίας γεωμετρικής προσέγγισης για την απόδειξη ανισότητας Jessen-Marcinkiewicz-Zygmund, βασισμένη στην απόδειξη των Córdoba- Fefferman. Η επιλογή της συγκεκριμένης απόδειξης επιτρέπει την ανάδειξη του ρόλου της γεωμετρίας των ορθογωνίων στη διαδικασία της διαφόρισης Ειδικότερα, μέσω της κατάλληλης επιλογής υποοικογενειών ορθογωνίων, του ελέγχου των επικαλύψεών τους και μιας επαγωγικής διαδικασίας ως προς τη διάσταση, προκύπτει η απαιτούμενη εκθετική εκτίμηση μία συνάρτησης που εισάγεται για να μετρά το βαθμό επικαλύψεων μεταξύ των ορθογωνίων η οποία, σε συνδυασμό με κατάλληλη ανισότητα τύπου Orlicz-Young, οδηγεί στην απόδειξη της ανισότητας Jessen-Marcinkiewicz-Zygmund. Η ανάλυση καταλήγει στο θεώρημα διαφόρισης ως προς τη βάση των ορθογωνίων και ειδικότερα στο αποτέλεσμα σύμφωνα με το οποίο η εν λόγω βάση διαφορίζει την κλάση .

The study of maximal operators and differentiation theorems constitutes an important area of Mathematical Analysis, concerned with the recovery of pointwise values of a function from its average’s oversets shrinking to a given point, thereby revealing a fundamental connection between the integral and pointwise behavior of functions. In the study of differentiation with respect to a differentiation basis, particular importance is attached to investigating the role played by the geometry of the family of sets that constitutes the basis. Accordingly, the aim of the present thesis is to provide a systematic study of differentiation with respect to the basis of axis-parallel rectangles, with particular emphasis on highlighting the role of the geometry of this specific family of sets in the differentiation process. The thesis first examines the methodological framework for differentiation with respect to the basis of Euclidean balls, within which the weak-type estimate for the Hardy–Littlewood maximal operator leads to the classical Lebesgue Differentiation Theorem. It is then shown that changing the differentiation basis from Euclidean balls to axis-parallel rectangles, due to the distinctive geometric features of rectangles in comparison with balls, results in the failure of the weak-type estimate for the corresponding strong maximal operator. Consequently, the methodological framework used to establish differentiation of the entire class with respect to Euclidean balls cannot be directly extended to the new basis. To highlight the role of the geometry of the basis in the differentiation process, a central part of the present thesis is devoted to developing a geometric approach to the proof of the Jessen–Marcinkiewicz–Zygmund inequality, based on the argument of Córdoba and Fefferman. The choice of this approach makes it possible to bring out explicitly the role played by the geometry of rectangles in the differentiation process. More specifically, through the appropriate selection of subfamilies of rectangles, the control of their overlaps, and an inductive procedure with respect to the dimension, the required exponential estimate is obtained for a function introduced to measure the degree of overlap among the rectangles. Combined with an appropriate Orlicz-Young-type inequality, this estimate leads to the proof of the Jessen–Marcinkiewicz–Zygmund inequality. The analysis culminates in the differentiation theorem for the basis of axis-parallel rectangles and, more specifically, in the result that this basis differentiates the class .