Η παρούσα μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία πραγματεύεται τις κλασικές λύσεις στάσιμων μελανών οπών στο πλαίσιο της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Σκοπός της είναι η συστηματική παρουσίαση της γεωμετρικής και αιτιακής δομής, καθώς και της δυναμικής συμπεριφοράς των βασικών οικογενειών μελανών οπών, αναδεικνύοντας παράλληλα τη σύνδεσή τους με τα σύγχρονα παρατηρησιακά δεδομένα της αστρονομίας βαρυτικών κυμάτων.

Στο πρώτο μέρος, έπειτα από μια σύντομη ιστορική αναδρομή και την εισαγωγή του απαραίτητου μαθηματικού υποβάθρου (μετρικός τανυστής, τανυστές καμπυλότητας, εξισώσεις πεδίου Einstein, γεωδαισιακές καμπύλες, διανύσματα Killing), εξετάζονται διεξοδικά οι σφαιρικά συμμετρικές λύσεις. Συγκεκριμένα, αναλύονται η μετρική Schwarzschild, η ηλεκτρικά φορτισμένη λύση Reissner–Nordström, καθώς και οι γενικεύσεις τους (Schwarzschild–de Sitter και Schwarzschild–Anti-de Sitter) παρουσία κοσμολογικής σταθεράς. Η μελέτη επικεντρώνεται στα χαρακτηριστικά των οριζόντων γεγονότων, στις ιδιομορφίες καμπυλότητας μέσω του αναλλοίωτου βαθμωτού Kretschmann, και στην κατασκευή των διαγραμμάτων Penrose–Carter για τους μέγιστα επεκτεταμένους χωροχρόνους.

Στη συνέχεια, η μελέτη μεταβαίνει στην αξονικά συμμετρική λύση Kerr και στη γενικότερη μετρική Kerr–Newman. Αναλύονται τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους, όπως η εργόσφαιρα, το φαινόμενο της συμπαράσυρσης των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς (frame-dragging), η δακτυλιοειδής ιδιομορφία και ο μηχανισμός εξαγωγής ενέργειας Penrose, στοιχεία που συνθέτουν την πλήρη εικόνα των μελανών οπών στο πλαίσιο του θεωρήματος της «Μη-Τριχοφυΐας» (No-Hair theorem).

Στο τελευταίο μέρος αναπτύσσεται η θεωρία των γραμμικών βαρυτικών διαταραχών σε υπόβαθρο Schwarzschild. Μέσω της μεθόδου χωρισμού μεταβλητών και της εισαγωγής της συντεταγμένης χελώνας (tortoise coordinate / Regge–Wheeler), η εξίσωση Klein–Gordon για ένα δοκιμαστικό βαθμωτό πεδίο, καθώς και οι εξισώσεις των αξονικών (Regge–Wheeler) και πολικών (Zerilli) βαρυτικών διαταραχών, ανάγονται σε μονοδιάστατες κυματικές εξισώσεις τύπου Schrödinger. Εξετάζεται η ισοφασματικότητα των δύο τύπων διαταραχών μέσω του μετασχηματισμού Darboux και υπολογίζονται οι θεμελιώδεις ημικανονικοί τρόποι ταλάντωσης (quasinormal modes, ℓ = 2) κάνοντας χρήση της ημικλασικής προσέγγισης WKB πρώτης τάξης. Τέλος, τα αναλυτικά αποτελέσματα αντιπαραβάλλονται με την ακριβή αριθμητική μέθοδο συνεχών κλασμάτων του Leaver, προσδιορίζοντας τα όρια ισχύος της προσεγγιστικής μεθόδου για τους ανώτερους υπερτόνους.

This master’s thesis investigates the classical solutions of stationary black holes within the framework of General Relativity. Its primary objective is to systematically present the geometric and causal structures, alongside the dynamical behavior, of the fundamental black hole families, while highlighting their connection to contemporary observational data in gravitational-wave astronomy.

In the first part, following a brief historical overview and the introduction of the necessary mathematical background (metric tensor, curvature tensors, Einstein field equations, geodesics, Killing vectors), spherically symmetric solutions are thoroughly examined. Specifically, the Schwarzschild metric, the electrically charged Reissner–Nordström solution, and their generalizations in the presence of a cosmological constant (Schwarzschild–de Sitter and Schwarzschild–Anti-de Sitter) are analyzed. The study focuses on the properties of event horizons, curvature singularities via the Kretschmann invariant, and the construction of Penrose–Carter diagrams for maximally extended spacetimes.

Subsequently, the thesis transitions to the axially symmetric Kerr solution and the more general Kerr–Newman metric. Their distinctive features are analyzed, including the ergosphere, the frame-dragging effect, the ring singularity, and the Penrose energy extraction process. These elements synthesize the complete picture of black holes within the context of the No-Hair theorem.

In the final part, the theory of linear gravitational perturbations on a Schwarzschild background is developed. Through the method of separation of variables and the introduction of the tortoise (Regge–Wheeler) coordinate, the Klein–Gordon equation for a test scalar field, as well as the equations governing axial (Regge–Wheeler) and polar (Zerilli) gravitational perturbations, are reduced to one-dimensional Schrödinger-like wave equations. The isospectrality of the two types of perturbations is examined via the Darboux transformation, and the fundamental quasinormal modes (ℓ = 2) are computed using the first-order semiclassical WKB approximation. Finally, the analytical results are compared against Leaver’s exact numerical continued fraction method, thereby determining the limits of validity of the approximation for higher overtones.