Quantum Information Theory (QIT) provides an information-theoretic mathematical framework for the description of quantum systems and their statistical properties. The purpose of the present Master’s Thesis is to develop essential concepts of QIT, beginning from the mathematical framework of QIT, and culminating in the introduction of the von Neumann entropy and mutual information as quantitative measures of the average information content and of the total correlations between by the subsystems of a composite quantum system. The language of density operators is presented as the general language of quantum states, accommodating both pure and mixed states within a common mathematical formalism. The information-theoretic description of quantum states is developed upon this foundation, through the presentation of the von Neumann entropy and its essential mathematical properties; specific emphasis is placed on the conditional entropy and the relative entropy, whose essential properties are established and interpreted within the context of QIT. The final part of the Thesis is devoted to the presentation of the von Neumann mutual information; its essential mathematical properties are presented, along with equivalent formulations of the von Neumann mutual information in terms of the von Neumann entropy, the conditional entropy, and the relative entropy, from which the interpretation of the von Neumann mutual information as a measure of the total correlations in a composite quantum system emerges. Representative examples involving product states, separable states, and maximally entangled Bell states, highlight the behaviour of the von Neumann mutual information, for different classes of quantum states. The concepts of QIT developed throughout the Thesis provide essential prerequisites for more advanced topics in QIT, including its applications to the quantum theory of measurement, and the to broader field of the foundations of quantum theory.

Η Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας (ΚΘΠ) παρέχει ένα μαθηματικό πλαίσιο βασισμένο στη θεωρία πληροφορίας για την περιγραφή κβαντικών συστημάτων και των στατιστικών τους ιδιοτήτων. Σκοπός της παρούσας Μεταπτυχιακής Διπλωματικής Εργασίας είναι η ανάπτυξη βασικών εννοιών της ΚΘΠ, ξεκινώντας από το μαθηματικό πλαίσιο της ΚΘΠ και καταλήγοντας στην εισαγωγή της εντροπίας von Neumann και της αμοιβαίας πληροφορίας ως ποσοτικών μέτρων του μέσου πληροφοριακού περιεχομένου και των συνολικών συσχετίσεων μεταξύ των υποσυστημάτων ενός σύνθετου κβαντικού συστήματος, αντίστοιχα. Η μαθηματική γλώσσα των τελεστών πυκνότητας παρουσιάζεται ως η γενική μαθηματική γλώσσα των κβαντικών καταστάσεων, ενσωματώνοντας τόσο τις καθαρές όσο και τις μεικτές καταστάσεις εντός ενός κοινού μαθηματικού φορμαλισμού. Η πληροφοριακή περιγραφή των κβαντικών καταστάσεων αναπτύσσεται πάνω σε αυτό το θεμέλιο, μέσω της παρουσίασης της εντροπίας von Neumann και των βασικών μαθηματικών της ιδιοτήτων· ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην δεσμευμένη εντροπία και την σχετική εντροπία, των οποίων οι βασικές ιδιότητες καθορίζονται και ερμηνεύονται στο πλαίσιο της ΚΘΠ. Το τελικό μέρος της Μεταπτυχιακής Διπλωματικής Εργασίας είναι αφιερωμένο στην παρουσίαση της αμοιβαίας πληροφορίας von Neumann· παρουσιάζονται οι βασικές μαθηματικές της ιδιότητες, μαζί με ισοδύναμες εκφράσεις της αμοιβαίας πληροφορίας von Neumann ως προς την εντροπία von Neumann, την δεσμευμένη εντροπία και τη σχετική εντροπία, από τις οποίες προκύπτει η ερμηνεία της αμοιβαίας πληροφορίας von Neumann ως ένα μέτρο των συνολικών συσχετίσεων σε ένα σύνθετο κβαντικό σύστημα. Αντιπροσωπευτικά παραδείγματα που περιλαμβάνουν τανυστικά γινόμενα καταστάσεων, διαχωρίσιμες καταστάσεις, και μέγιστα εμπλεγμένες καταστάσεις Bell, αναδεικνύουν τη συμπεριφορά της αμοιβαίας πληροφορίας von Neumann για διαφορετικές κλάσεις κβαντικών καταστάσεων. Οι έννοιες της ΚΘΠ, που αναπτύσσονται καθ' όλη τη διάρκεια της Μεταπτυχιακής Διπλωματικής Εργασίας παρέχουν απαραίτητες προϋποθέσεις για πιο προχωρημένα θέματα στην ΚΘΠ, συμπεριλαμβανομένων των εφαρμογών της στην κβαντική θεωρία μέτρησης, και στο ευρύτερο πεδίο της θεμελίωσης της κβαντικής θεωρίας.