Ο στόχος αυτής της εργασίας είναι να εξετάσουμε προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) κάνοντας χρήση της μεθόδου του ενοποιημένου μετασχηματισμού (ΕΜ). Πιο συγκεκριμένα σκοπός της εργασίας είναι να δώσουμε λύσεις σε ΠΑΣΤ που δεν μπορούν να επιλυθούν με τις κλασικές μεθόδους, συζητώντας πιθανές εφαρμογές του ΕΜ σε προβλήματα φυσικής, για παράδειγμα προβλήματα διήθησης/στράγγισης στην γεωπονία, ενώ η συζήτηση επεκτείνεται με μία σύντομη βιβλιογραφική ανασκόπηση σε προβλήματα συνοριακών τιμών (π.χ. εξ. Helmholtz) της ακουστικής ή/και ρευστομηχανικής, όπου η μέθοδος του Φωκά μπορεί να εφαρμοστεί για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων που η λύση τους με κλασικές μεθόδους (σειρές Fourier, συναρτήσεις Green, χωρισμός μεταβλητών) αποτυγχάνουν, ενώ άλλες μέθοδοι οδηγούν σε χρονοβόρες (αριθμητική επίλυση με συνοριακά στοιχεία) και περίπλοκες (Wiener-Hopf) μεθόδους επίλυσης. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτό θα δώσουμε το περίγραμμα αυτής της νέας ενοποιημένης μεθοδολογίας που εισήχθη από τον Α. Φωκά το 1997 και ξεπερνά σημαντικούς περιορισμούς που παρουσιάζονται σε αντίστοιχες παραδοσιακές μεθόδους· σε αυτό το πλαίσιο θα δοθεί μια σχετική συνοπτική επισκόπηση.

The goal of the present Master’s thesis is to study Initial Boundary Values Problems (IBVP) using the unified transform (UT) method. In particular, the aim of the present work is to solve IBVP for which the classical methods fail while discussing applications in physics, such as infiltration/drainage. A brief literature review follows, focusing on boundary value problems in fluid mechanics and acoustics (e.g., Helmholtz equation), where the Fokas method can be applied to solve complex problems that are not solvable using classical techniques (Fourier series expansions, Green functions, separation of variables), while alternative methods lead to solutions with a high computational cost (Wiener-Hopf technique). We furthermore give a brief overview of the UT that was introduced by Fokas in 1997.