Στην παρακάτω εργασία θα δούμε πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του
ενοποιημένου μετασχηματισμού για την επίλυση προβλημάτων αρχικών και συνορια-
κών τιμών που αφορούν μερικές διαφορικές εξισώσεις. Συγκεκριμένα θα αναφέρου-
με αναλυτικά τη διαδικασία επίλυσης μέσω του Ε.Μ. , θα δώσουμε έμφαση στο γιατί
ονομάζεται ενοποιημένος καθώς και θα δείξουμε ότι μπορούμε να εξάγουμε, αν θελή-
σουμε, τη λύση όπως αυτή δίνεται από τους κλασικούς μετασχηματισμούς (sine Fourier,
κλπ). Θα δούμε στην πράξη πώς και γιατί υπερτερεί των κλασικών μεθόδων. Τέλος θα
ασχοληθούμε με το πρόβλημα της κατακόρυφης διήθησης του νερού, το οποίο αν και
μοντελοποιείται από την εξίσωση Richards, όπου μετά από παραδοχές μετασχημα-
τίζεται στη μη γραμμική ΜΔΕ του Burgers και αφού πρώτα τη γραμμικοποιήσουμε μέσω
του Hopf–Cole transformation, προκύπτει μια εξίσωση διάχυσης. Την εξίσωση αυτή
θα λύσουμε εφαρμόζοντας τη μέθοδο του ενοποιημένου μετασχηματισμού με στόχο να
πάρουμε μια ολοκληρωτική αναπαράσταση της λύσης την οποία θα υπολογίσουμε και
αριθμητικά.