Σκοπός της παρούσας μεταπτυχιακής διπλωματικής εργασίας είναι η συστηματική μελέτη των
συναρτήσεων Green στο πλαίσιο προβλημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων με συνοριακές
συνθήκες, με έμφαση τόσο στη θεωρητική θεμελίωση όσο και στις αριθμητικές υλοποιήσεις και
εφαρμογές τους σε επιλεγμένα φυσικά συστήματα.
Οι συναρτήσεις Green αποτελούν ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση συνοριακών προβλημά-
των, καθώς επιτρέπουν την αναπαράσταση της λύσης μιας μη ομογενούς διαφορικής εξίσωσης
μέσω ολοκληρωτικού τύπου, ο οποίος εξαρτάται από την πηγή και τις συνοριακές συνθήκες
του προβλήματος.
Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι απαραίτητες μαθηματικές έννοιες, με έμφαση στη θε-
ωρία των κατανομών, τη συνάρτηση δέλτα του Dirac και την έννοια των ασθενών λύσεων,
οι οποίες αποτελούν θεμελιώδη εργαλεία για τη διατύπωση και κατανόηση των συναρτήσεων
Green.
Στο δεύτερο κεφάλαιο αναπτύσσονται οι ταυτότητες Green, οι οποίες προκύπτουν από το θεώ-
ρημα απόκλισης του Gauss και συνδέουν τις λύσεις διαφορικών εξισώσεων με τα δεδομένα στο
σύνορο του χωρίου. Παρουσιάζονται οι αποδείξεις των βασικών αποτελεσμάτων και εξετάζεται
η σημασία τους για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων.
Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται ο ορισμός της συνάρτησης Green για γραμμικούς ελλειπτικούς τε-
λεστές και μελετώνται αναλυτικά τα συνοριακά προβλήματα Dirichlet και Neumann. Ιδιαίτερη
έμφαση δίνεται στις ιδιότητες συμμετρίας και κανονικότητας της συνάρτησης Green, καθώς
και στη σχέση της με προβλήματα τύπου Sturm--Liouville.
Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται εφαρμογές της θεωρίας σε φυσικά συστήματα, όπως
προβλήματα θερμικής διάχυσης, ηλεκτρικά κυκλώματα και μηχανικά συστήματα, με κατάλ-
ληλη μαθηματική διατύπωση των αντίστοιχων μοντέλων.
Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται βασικές αριθμητικές τεχνικές για την προσεγγιστική υλο-
ποίηση ολοκληρωτικών αναπαραστάσεων μέσω συναρτήσεων Green, καθώς και συγκρίσεις με
άλλες κλασικές μεθόδους επίλυσης προβλημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων, αναδεικνύ-
οντας τα πλεονεκτήματα και τους περιορισμούς κάθε προσέγγισης

The aim of the present Master’s thesis is the systematic study of Green’s function techniques
in the context of partial differential equations with boundary conditions, with emphasis on both
their theoretical foundations and their numerical implementations in selected physical systems.
Green’s functions constitute a powerful analytical framework for solving boundary value problems,
since they allow the representation of the solution of a nonhomogeneous differential equation
through integral formulas involving the source term and the boundary conditions of the
problem.
In the first chapter, the necessary mathematical preliminaries are presented, with particular emphasis
on distribution theory, the Dirac delta distribution, and the concept of weak solutions.
These notions provide the rigorous mathematical framework required for the formulation and
analysis of Green’s functions.
The second chapter is devoted to Green’s identities, which are derived from the divergence theorem
and establish fundamental relationships between differential operators and boundary data.
Detailed proofs are presented, and the role of these identities in the existence and uniqueness
theory of solutions is examined.
In the third chapter, Green’s functions for linear elliptic operators are introduced, and the classical
Dirichlet and Neumann boundary value problems are studied in detail. Particular emphasis
is placed on the symmetry and regularity properties of Green’s functions, as well as on their
relation to Sturm–Liouville theory.
The fourth chapter presents applications of the theory to selected physical systems, including
heat transfer problems, electrical circuits, and mechanical models, formulated within an appropriate
mathematical framework. These examples illustrate the natural appearance of Green’s
functions in the modeling and analysis of applied problems.
Finally, the fifth chapter focuses on basic numerical techniques for the approximation and implementation
of Green’s function representations, together with comparisons with other classical
methods for solving partial differential equations, such as eigenfunction expansions and Fourier
methods. The advantages and limitations of the Green’s function approach are discussed, highlighting
its effectiveness as a unifying analytical and computational method for linear boundary
value problems.