Σύνολα Borel στην Πραγματική Ευθεία ℝ

Borel Sets of the Real Line ℝ (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΗΣ
  3. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)
  4. 27 Σεπτεμβρίου 2025
  5. Ελληνικά
  6. 93
  7. ΑΝΟΥΣΗΣ ΜΙΧΑΗΛ
  8. ΑΝΟΥΣΗΣ ΜΙΧΑΗΛ | ΔΑΣΚΑΛΑΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ
  9. Σύνολα | Πραγματική Ευθεία | σ άλγεβρα | Borel σ άλγεβρα | Σύνολα Borel | Συναρτήσεις Borel | Ιεραρχία Borel
  10. Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ) / ΜΣΜ86
  11. 1
  12. 4
  13. 10
    • Τα σύνολα Borel αποτελούν μια από τις πιο βασικές κλάσεις συνόλων που συναντούμε σε έναν τοπολογικό χώρο. Δημιουργούνται ξεκινώντας από τα ανοιχτά σύνολα του χώρου κι εφαρμόζοντας πάνω τους τις πράξεις της θεωρίας συνόλων (ένωση, τομή, συμπλήρωμα) με αριθμήσιμο τρόπο. Το αποτέλεσμα είναι μια πολύ πλούσια συλλογή συνόλων, με καθοριστικό ρόλο στην Τοπολογία, τη Θεωρία Μέτρου και την Ανάλυση. Είναι μάλιστα κεντρικό αντικείμενο μελέτης στην Περιγραφική Θεωρία Συνόλων.

      Στόχος της εργασίας, είναι να αποτελέσει μια εισαγωγή στον κόσμο των συνόλων Borel, και να αναδείξει, σε ένα αρχικό επίπεδο, τη σημαντικότητά τους στα Μαθηματικά. Η μελέτη αυτών των συνόλων, θα γίνει σε έναν πολύ οικείο χώρο, αυτόν της Πραγματικής Ευθείας ℝ.
      Η εργασία αποτελείται από δύο κύρια μέρη, συνοδευόμενα από ένα παράρτημα.

      Στο ΜΕΡΟΣ Ι περιλαμβάνονται προκαταρκτικά, από τη θεωρία συνόλων, τοπολογίας μετρικών χώρων και της θεωρίας μέτρου, τα οποία αποτελούν το θεωρητικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο χτίζεται η έννοια των Borel.

      Στο ΜΕΡΟΣ ΙΙ μεταβαίνουμε στο κύριο θέμα της εργασίας. Αρχικά παρουσιάζεται η Borel σ-άλγεβρα και κάποιες βασικές κλάσεις συνόλων που ανήκουν σε αυτήν, όπως τα σύνολα Gδ και Fσ. Βλέπουμε διαφόρους τρόπους παραγωγής των συνόλων Borel στον ℝ, σε υποχώρους του ℝ αλλά και στον ℝn. Στη συνέχεια ορίζουμε τις συναρτήσεις Borel και τις μελετάμε ως προς τη συνέχεια, τις πράξεις και τη σύγκλιση κατά σημείο. Στο τελευταίο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε την Ιεραρχία των συνόλων Borel, που αποτελεί ταξινόμηση των Borel με βάση την πολυπλοκότητά τους ως προς τις πράξεις που χρειάστηκε για να τα λάβουμε. Μελετάμε τις ιδιότητες των κλάσεων της Ιεραρχίας και μέσω αυτής παρουσιάζουμε αποτελέσματα σε σχέση με το μέγεθος της οικογένειας των Borel.

      Μετά το τέλος και των δύο κυρίων μερών της εργασίας, παρατίθεται κι ένα παράρτημα, με αποδείξεις Θεωρημάτων και Προτάσεων από το ΜΕΡΟΣ Ι. Τα Θεωρήματα και οι Προτάσεις, των οποίων η απόδειξη βρίσκεται στο παράρτημα, επισημαίνονται με (★) αμέσως μετά την αρίθμησή τους.

    • Borel sets constitute one of the most fundamental classes of sets encountered in a topological space. They are generated by starting from the open sets of the space by applying the operations of set theory (union, intersection, complement) in a countable manner. The result is a very rich collection of sets that plays a decisive role in Topology, Measure Theory, and Analysis. Moreover, Borel sets are a central object of study in Descriptive Set Theory.

      The aim of this work is to make an introduction to the world of Borel sets, and highlight, in an elementary level, their importance in Mathematics. The study of these sets will be carried out in a very familiar space, that of the Real Line $\mathbb{R}$.
      This work consists of two main parts, accompanied by an appendix.

      PART I includes preliminaries from set theory, topology of metric spaces, and measure theory which constitute the theoretical background upon which the concept of Borel sets is built.

      In PART II we turn to the main topic of the work. First, the Borel sigma-algebra is presented along with some basic classes of sets belonging to it, such as the Gδ and Fσ
      sets. We examine various ways of generating Borel sets in
      ℝ, in subspaces of ℝ, and in ℝn. Then, we define Borel functions and we study them in terms of continuity, operations and pointwise convergence. In the last chapter, we present Borel Hierarchy which is a classification of the Borel sets with respect to their level of complexity in terms of the set operations we needed to obtain them. We study the properties of the Hierarchy’s classes and through that we present results related to the size of the family of Borel sets.

      After the end of the two main parts, an Appendix is provided, containing proofs of Theorems and Propositions from the PART I. The Theorems and Propositions whose proofs appear in the appendix are marked with (★) immediately after their numbering.

  15. Hellenic Open University
  16. Αναφορά Δημιουργού 4.0 Διεθνές