Η παρούσα εργασία εξετάζει τις καμπύλες Bézier και τις γενικεύσεις τους με στόχο
την κατανόηση της θεωρίας, των ιδιοτήτων και των αλγορίθμων που σχετίζονται με
την κατασκευή και τον έλεγχο καμπυλών στη γεωμετρική μοντελοποίηση. Ξεκινώ‑
ντας από τις βασικές έννοιες των πολυωνύμων Bernstein, προχωρούμε στη μελέτη
των μη ρητών καμπυλών Bézier και στη συνέχεια αναλύουμε τις ρητές καμπύλες,
με έμφαση στις παραμέτρους βάρους και τη βαρυκεντρική μορφή. Εξετάζονται επί‑
σης οι NURBS ως γενίκευση των ρητών καμπυλών Bézier, με ιδιαίτερη αναφορά στις
B‑splines. Στην πορεία παρουσιάζονται αναλυτικοί αλγόριθμοι σχεδίασης, υποδιαί‑
ρεσης, αύξησης και μείωσης βαθμού. Στο τελευταίο μέρος, γίνεται εφαρμογή των
καμπυλών Bézier σε περιβάλλοντα MATLAB και Python, με στόχο την πρακτική υ‑
λοποίηση και επαλήθευση της θεωρίας. Τέλος, παρουσιάζονται νέα εργαλεία για
τον έλεγχο του σχήματος, βασισμένα στη βαρυκεντρική μορφή, καθώς και ανοιχτά
ερωτήματα για μελλοντική έρευνα.

This thesis explores Bézier curves and their generalizations, aiming to provide a thorough
understanding of the theory, properties, and algorithms related to the construction and
control of curves in geometric modeling. Beginning with the foundational concepts of
Bernstein polynomials, the study proceeds to investigate non‑rational Bézier curves and
then rational Bézier curves, with emphasis on weight parameters and the barycentric
form. NURBS curves are also examined as a generalization of rational Bézier curves,
with special focus on B‑splines. The work includes detailed algorithms for curve design,
subdivision, and degree modification. In the final part, Bézier curves are implemented in
MATLAB and Python environments to verify the theoretical results in practice. Lastly,
new tools for shape control using the barycentric representation are presented, along
with open questions and suggestions for future research.