Το θέμα της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη των συνθηκών εμφάνισης των Ολικών Ελκυστών στα μη Γραμμικά  Δυναμικά Συστήματα, και η μελέτη μιας χαρακτηριστικής ιδιότητας, της Διάστασης, κλασματικής συνήθως, αυτών των πολύπλοκης μορφής χαοτικών ή ‘παράξενων’ Ελκυστών. 

Η θεωρητική μελέτη των Ολικών Ελκυστών αναλύει και εξετάζει τις ιδιότητες των Αναλλοίωτων συνόλων , των φραγμένων ή συμπαγών Απορροφητικών συνόλων στον χώρο των φάσεων, και των ω-οριακών συνόλων που έχουν τις προηγούμενες ιδιότητες και οδηγούν στο Θεώρημα Ύπαρξης ενός Ελκυστή. Δίνονται παραδείγματα κάθε κατηγορίας τέτοιων συνόλων με ανάλυση της δυναμικής τους σε συστήματα που περιγράφονται με Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις και ιδιαίτερα το γνωστό σύστημα με τον Ελκυστή Lorenz.

Στη συνεχεία γίνεται εισαγωγή στη θεωρία Διαστάσεων, συγκρίνοντας την Τοπολογική διάσταση με τις νεοτέρου τύπου  διαστάσεις πολύπλοκων δομών όπως τα “φράκταλ”. Τέτοιες είναι η διάσταση Κιβώτιου (Box-counting) ή Fractal διάσταση αλλά και η διάσταση Hausdorff  για την εισαγωγή της οποίας δίνονται στοιχεία από τη Θεωρία Μέτρου.  (Τονίζεται η συμβολή του Καραθεοδωρή στο συγκεκριμένο κλάδο).  Παρουσιάζονται οι έκθετες Lyapunov στη συνέχεια, που μετράνε την τάση απομάκρυνσης ( ή προσέγγισης ) τροχιών με ελάχιστη αρχική διαφορά σε ένα χαοτικό σύστημα και ταυτόχρονα πως αυτό αποτυπώνεται με την διάσταση Lyapunov ή Kaplan-Yorke.  Η ίδια μεθοδολογία μελέτης του μετασχηματισμού στοιχειώδους όγκου στο χώρο φάσεων, με μεγέθυνση ή συρρίκνωση κατά τις διάφορες διαστάσεις (εκθέτες Lyapunov) χρησιμοποιείται για την εύρεση άνω φράγματος στη Διάσταση Hausdorff  ή ακόμη και της Fractal διάστασης ενός Ελκυστή. Πρακτικά το άνω φράγμα είναι κοντά συνήθως στη “διάσταση Lyapunov”.  Γίνεται πρακτική χρήση της μεθοδολογίας στον υπολογισμό φράγματος για τη διάσταση του Ελκυστή Lorenz. Τέλος τα ανωτέρω όπως , η μαθηματική απόδειξη ύπαρξης Απορροφητικού συνόλου με μπάλα κατάλληλης ακτίνας , και η εύρεση άνω φράγματος στη διάσταση εφαρμόζονται στη περίπτωση ενός  Χρηματοοικονομικού  συστήματος με 3 μεταβλητές κατάστασης στο χώρο φάσεων.

The subject of this thesis is the study of the conditions of appearance of Global Attractors in Nonlinear Dynamical Systems, and the study of a characteristic property, the Dimension, usually fractional, of these complex chaotic or ‘strange’ Attractors.

The theoretical study of Global Attractors analyzes and examines the properties of Invariant sets, of bounded or compact Absorbing sets in phase space, and of ω-limit sets that have the previous properties and lead to the Existence Theorem of an Attractor.  Examples of each category of such sets are given with an analysis of their dynamics in systems described by Ordinary Differential Equations and in particular the well-known system with the Lorenz Attractor.

Then an introduction is made to Dimension theory, comparing the Topological dimension with the newer type of dimensions of complex structures such as fractals. These are the Box-counting or Fractal dimension but also the Hausdorff dimension. For the introduction of those, some elements of Measure Theory are given. (The contribution of Carathéodory to this particular branch is emphasized). The Lyapunov exponents are presented next, which measure the tendency of trajectories to move away (or approach) with minimal initial differences in a chaotic system and at the same time how this is captured by the Lyapunov or Kaplan-Yorke dimension. The same methodology of studying the transformation of an elementary volume in phase space, with enlargement or shrinkage in the various dimensions (Lyapunov exponents) is used to find an upper bound on the Hausdorff Dimension or even the Fractal dimension of an Attractor. In practice the upper bound is usually close to the “Lyapunov dimension”. Practical use of the methodology is made in calculating a bound on the dimension of the Lorenz Attractor.  Finally, the above, such as , the mathematical proof of the existence of an Absorbing set with a ball of appropriate radius, and finding an upper bound in the dimension are applied to the case of a Financial system with 3 state variables in phase space.