Άλγεβρα Lie και συμμετρίες σε κβαντικά συστήματα

Algebra Lie and symmetries in quantum systems (Αγγλική)

  1. MSc thesis
  2. ΑΧΙΛΛΕΥΣ ΠΕΡΡΟΣ
  3. Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική (ΠΣΦ)
  4. 27 Σεπτεμβρίου 2025
  5. Ελληνικά
  6. 101
  7. ΣΦΕΤΣΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ
  8. ΣΦΕΤΣΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΣΟΦΙΑΝΑΤΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
  9. Άλγεβρα Lie, Συμμετρίες, Κλασική φυσική, Κβαντική φυσική, Θεώρημα Noether, Θεωρία ομάδων, Αναπαραστάσεις ομάδων, Group Representation | Ομάδες Lie, Άλγεβρα Lie, SO(2), SO(3), SU(2) , Χαρακτήρες SO(3), | Ιδιοκαταστάσεις Στροφορμής, Τελεστές ανύψωσης υποβιβασμού, Γεννήτορες μετασχηματισμού, νόμοι διατήρησης | Clebsch–Gordan, Wigner–Eckart, Ισοσπίν, Ισοτοπικό spin, κρυμμένη συμμετρία άτομο υδρογόνου, Σκέδαση γωνιακές κατανομές
  10. ΠΣΦ
  11. 5
  12. 4
  13. 12

    • Περίληψη

      Ο κύριος στόχος αυτής της διπλωματικής είναι να διερευνήσει τη σχέση μεταξύ των Άλγεβρων Lie και των συμμετριών σε κβαντικά συστήματα, καθώς και να αναδείξει τις εφαρμογές τους σε συγκεκριμένα φυσικά προβλήματα. Μέσα από αυτή τη μελέτη, θα μελετηθούν βασικές έννοιες όπως οι ομάδες Lie, οι Άλγεβρες Lie και οι αναπαραστάσεις τους, και θα εφαρμοστούν σε κλασικά κβαντικά συστήματα όπως  το άτομο του υδρογόνου. Επιπλέον, θα εξεταστούν οι επιπτώσεις των συμμετριών στη δομή και τη συμπεριφορά των κβαντικών συστημάτων, καθώς και η σημασία τους στη σύγχρονη φυσική.

      Η διπλωματική αυτή οργανώνεται ως εξής:

      • Κεφάλαιο 1, γίνεται μια γενική αναφορά για το σημαντικό ρόλο των συμμετριών στη σύγχρονη φυσική. Στη συνέχεια παρουσιάζονται ιστορικά στοιχεία της άλγεβρας Lie καθώς και η σχέση της με τη φυσική.
      • Κεφάλαιο 2, παρουσιάζεται αρχικά η έννοια της συμμετρίας στην κλασσική φυσική. Δίνεται έμφαση στη σχέση μεταξύ συμμετριών και διατηρήσιμων ποσοτήτων. Στη συνέχεια τονίζεται η σπουδαιότητα των κανονικών μετασχηματισμών στη μηχανική του Hamilton που αφήνουν τη χαμιλτονιανή αμετάβλητη και μέσω αυτών οδηγούμαστε στο θεώρημα της Noether. Στη συνέχεια εξηγείται η έννοια της συμμετρίας στη κβαντική φυσική. Εδώ οι χωρικές και οι χρονικές μετατοπίσεις γίνονται μέσω της δράσης κατάλληλων τελεστών που δρουν στην κυματοσυνάρτηση που περιγράφει το κβαντικό σύστημα. Δείχνεται ότι η μετάθεση των τελεστών αυτών με τη Χαμιλτονιανή είναι αναγκαίος όρος για να πάρουμε κβαντικά διατηρούμενες ποσότητες.
      • Κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες από τη θεωρία ομάδων και αναλύεται η έννοια της αναπαράστασης. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι καθολικές και οι τοπικές ιδιότητες των ομάδων Lie και η σχέση των ομάδων αυτών με την άλγεβρα Lie.
      • Κεφάλαιο 4, παρουσιάζονται οι ομάδες που ενδιαφέρουν την κβαντική φυσική, όπως είναι η ομάδα των 3D περιστροφών SO(3), σημαντική για την κατανόηση των συμμετριών κατά από περιστροφές, και η ομάδα SU(2) η οποία συνδέεται στενά με την έννοια του spin. Περιγράφονται οι αναπαραστάσεις των παραπάνω ομάδων καθώς και οι αντίστοιχες άλγεβρές τους. Στη συνέχεια περιγράφεται ο ρόλος των συντελεστών CG μέσω των οποίων δύο αναπαραστάσεις μιας ομάδας συνδυάζονται για να σχηματίσουν νέες αναπαραστάσεις.
      • Κεφάλαιο 5, αναδεικνύεται η σύνδεση των ομάδων SO(3) και SU(2) με φαινόμενα από τη κβαντική φυσική. Μέσω των αναπαραστάσεών τους μπορούμε να ερμηνεύσουμε κρυμμένες συμμετρίες και να προβλέψουμε τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ στοιχειωδών σωματιδίων.

      Μέσα από αυτή τη μελέτη, επιδιώκεται να αναδειχθεί η ομορφιά και η ισχύς των μαθηματικών εργαλείων στην περιγραφή της φύσης, καθώς και να υπογραμμιστεί η σημασία των συμμετριών στην κατανόηση των κβαντικών φαινομένων.

    • Abstract

      The main objective of this thesis is to explore the relationship between Lie Algebras and symmetries in quantum systems, as well as to highlight their applications in specific physical problems. Through this study, fundamental concepts such as Lie groups, Lie algebras, and their representations will be examined and applied to classical quantum systems, such as the hydrogen atom. Additionally, the effects of symmetries on the structure and behavior of quantum systems will be investigated, along with their significance in modern physics.

      This thesis is structured as follows:

      • Chapter 1 provides a general introduction to the crucial role of symmetries in modern physics. It also presents historical aspects of Lie algebra and its connection to physics.
      • Chapter 2 initially introduces the concept of symmetry in classical physics, emphasizing the relationship between symmetries and conserved quantities. The importance of canonical transformations in Hamiltonian mechanics, which leave the Hamiltonian invariant, is highlighted, leading to Noether’s theorem. The notion of symmetry in quantum physics is then explained, where spatial and temporal translations are implemented via appropriate operators acting on the wavefunction describing the quantum system. It is shown that the commutation of these operators with the Hamiltonian is a necessary condition for obtaining quantum conserved quantities.
      • Chapter 3 presents fundamental concepts from group theory and analyzes the notion of representation. It then discusses the global and local properties of Lie groups and their connection to Lie algebra.
      • Chapter 4 introduces the groups relevant to quantum physics, such as the 3D rotation group SO(3), which is essential for understanding rotational symmetries, and the SU(2) group, which is closely related to the concept of spin. The representations of these groups and their corresponding algebras are described. Additionally, the role of Clebsch-Gordan (CG) coefficients is explained, as they allow for the combination of two representations of a group to form new representations.
      • Chapter 5 highlights the connection between the SO(3) and SU(2) groups and phenomena in quantum physics. Through their representations, hidden symmetries can be interpreted, and interactions between elementary particles can be predicted.

      Through this study, the goal is to showcase the beauty and power of mathematical tools in describing nature, as well as to emphasize the importance of symmetries in understanding quantum phenomena.

  15. Hellenic Open University
  16. Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 Διεθνές