Στην παρούσα εργασία σκοπός είναι να αποδείξουμε το θεώρημα LlogL για τη μεγιστική συνάρτηση των Hardy-Littlewood το οποίο μας παρέχει έναν χαρακτηρισμό για το πότε η μεγιστική συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη. Το παραπάνω αντικείμενο βρίσκεται στον χώρο της μαθηματικής ανάλυσης και ειδικότερα στο πλαίσιο της Αρμονικής Ανάλυσης σε Ευκλείδειους χώρους. Θα φανούν οι διάφορες πτυχές της μεγιστικής συνάρτησης και ξεκινώντας με απλά λήμματα κάλυψης για το ολοκλήρωμα Lebesgue θα περάσουμε σε πιο τεχνικά, για τυχαία μέτρα Radon, όπου και θα δώσουμε τα αντίστοιχα γενικά αποτελέσματα.  

The aim of this thesis is to prove the LlogL theorem for the Hardy–Littlewood maximal function, which offers a characterization of when the maximal function is integrable. This topic lies within the field of mathematical analysis, and more specifically in the context of harmonic analysis on Euclidean spaces. We will examine various aspects of the maximal function, starting with basic covering lemmas related to the Lebesgue integral and progressing to more technical results involving general Radon measures, for which we will also establish the corresponding general theorems.