Η εργασία αυτή παρουσιάζει τη βασική θεωρία σύγκλισης τυχαίων ακολουθιών, με έμφαση στο νόμο των μεγάλων αριθμών, το κεντρικό οριακό θεώρημα, και τις εφαρμογές τους στη στατιστική. Ξεκινά παρουσιάζοντας το αναγκαίο προχωρημένο μαθηματικό υπόβαθρο, αποτελούμενο από στοιχεία της θεωρίας μέτρου, τα λήμματα Borel-Cantelli, πιθανοτικές ανισότητες, χαρακτηριστικές συναρτήσεις, και βασικές έννοιες στατιστικής. Περιγράφει τα 4 βασικά είδη σύγκλισης που χρησιμοποιούνται σε οριακά θεωρήματα: τη σχεδόν βέβαιη σύγκλιση, τη σύγκλιση κατά r-μέσο, τη σύγκλιση κατά πιθανότητα, και τη σύγκλιση κατά κατανομή, εξηγώντας τις σχέσεις μεταξύ τους και τις βασικές τους ιδιότητες. Στη συνέχεια παρουσιάζει το νόμο των μεγάλων αριθμών και το κεντρικό οριακό θεώρημα, αρχίζοντας από τα βασικά θεωρήματα και πηγαίνοντας σε πιο σύνθετα, καθώς και σε γενικεύσεις ή επεκτάσεις αυτών. Στο νόμο των μεγάλων αριθμών παρουσιάζονται επεκτάσεις για διάφορες υποθέσεις σχετικά με τις ροπές των τυχαίων μεταβλητών της ακολουθίας, καθώς και για εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές σε στάσιμες στοχαστικές διαδικασίες – δείχνοντας τη σχέση με το εργοδικό θεώρημα – ενώ στο κεντρικό οριακό θεώρημα παρουσιάζονται επεκτάσεις για τυχαίο αριθμό όρων αθροίσματος και για εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές σε m-εξαρτημένες και α-αναμειγνύουσες τυχαίες ακολουθίες. Τέλος, η εργασία δείχνει τις εφαρμογές αυτών των θεμελιωδών θεωρημάτων στην στατιστική, παρουσιάζοντας τη σύνδεση του νόμου των μεγάλων αριθμών με τις έννοιες της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής και της συνεπούς εκτιμήτριας, καθώς και εφαρμογές του κεντρικού οριακού θεωρήματος στην κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης, στον έλεγχο υποθέσεων, και στην εκτίμηση του αναγκαίου μεγέθους δείγματος. Παρουσιάζονται επίσης ορισμένες πιο σύγχρονες εφαρμογές του κεντρικού οριακού θεωρήματος στη δειγματοληψία από έναν πεπερασμένο πληθυσμό χωρίς αντικατάσταση και στη χωρική δειγματοληψία. Περιλαμβάνονται πολλά παραδείγματα που βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση των θεωρημάτων και των διαφόρων εφαρμογών, ενώ για τις εφαρμογές στη στατιστική παρουσιάζονται και αποτελέσματα προσομοίωσης και γραφήματα με χρήση της γλώσσας R, παραθέτοντας ολόκληρο τον κώδικα στο Παράρτημα της εργασίας. Η εργασία περιλαμβάνει και πολλές ιστορικές αναφορές, που δίνουν πλούσιες πληροφορίες για την εξέλιξη αυτών των οριακών θεωρημάτων και τη συνεισφορά των κυριοτέρων μεγάλων μαθηματικών που δούλεψαν σε αυτά.

This thesis presents the basic theory of convergence of random sequences, with focus on the law of large numbers, the central limit theorem and their applications in statistics. It starts by presenting the necessary advanced mathematical background, consisting of elements of measure theory, the Borel-Cantelli lemmas, probabilistic inequalities, characteristic functions, and basic statistical concepts. It describes the 4 basic types of convergence used in limit theorems: almost sure convergence, convergence in r-mean, convergence in probability and convergence in distribution, explaining the relations between them and their basic properties. Next, it presents the law of large numbers and the central limit theorem, starting from their basic formulations and proceeding to more complex ones, as well as to generalizations or extensions. For the law of large numbers, it presents extensions for different formulations regarding the moments of the distributions of the random variables in the sequence, as well as for dependent random variables in stationary stochastic processes — showing the relationship with the ergodic theorem. For the central limit theorem, it presents extensions for a random number of terms in the sequence, and for dependent random variables in m-dependent and α-mixing random sequences. The thesis concludes with the applications of these fundamental theorems in statistics, presenting the connection between the law of large numbers and the concepts of an emprirical distribution function and a consistent estimator, as well as the application of the central limit theorem for constructing confidence intervals, hypothesis testing, and estimating the minimum required sample size. It also presents more recent applications of the central limit theorem in sampling from a finite population without replacement, and in spatial sampling. The thesis includes many examples, which aid in better understanding of the theorems and their applications, whereas for the applications in statistics it also presents simulation results and graphs with the use of R language, adding all code in the Appendix. The thesis also includes many historical references, providing rich information on the evolution of these limit theorems and the contributions of the great mathematicians who worked on them.