Το θέμα της παρούσας εργασίας είναι η μαθηματική μοντελοποίηση των ακουστικών

κυμάτων που προκύπτουν από τα μουσικά όργανα.

Ο πρώτος στόχος της εργασίας είναι η εύρεση εξισώσεων που περιγράφουν την

κίνηση του κάθε μουσικού οργάνου και του τρόπου που παράγεται ο ήχος από αυτό.

Ο δεύτερος στόχος είναι η πραγματοποίηση προσομοιώσεων τμημάτων των

μουσικών οργάνων, μέσω της χρήσης του λογισμικού Mathematica. Ο τρίτος στόχος

της εργασίας είναι η συσχέτιση των χαρακτηριστικών της δόνησης των τμημάτων

των μουσικών οργάνων με τα χαρακτηριστικά του παραγόμενου ηχητικού κύματος,

αλλά και η σύγκριση των αποτελεσμάτων που υπολογίζονται μέσω σχέσεων της

βιβλιογραφίας, με τα αποτελέσματα που προκύπτουν από πειραματικές μετρήσεις. Ο

τελευταίος στόχος επιτυγχάνεται πραγματοποιώντας ηχογραφήσεις μουσικών

οργάνων σε στούντιο μουσικής.

Στο κεφάλαιο 1 γίνεται μια εισαγωγή στην εργασία. Στα κεφάλαια 2 και 3 της

εργασίας περιγράφονται τα μουσικά όργανα που θα μοντελοποιηθούν και επιπλέον

παρουσιάζονται βασικές μαθηματικές έννοιες και μέθοδοι που θα αξιοποιηθούν κατά

τη μοντελοποίηση. Στα κεφάλαια 4,5 και 6 πραγματοποιείται η μαθηματική

μοντελοποίηση των πιατινιών, των κυλινδρικών τυμπάνων και της ακουστικής

κιθάρας, άρα και του ακουστικού μπάσου,. Στα κεφάλαια αυτά παρουσιάζονται οι

εξισώσεις που περιγράφουν τα συγκεκριμένα μουσικά όργανα, καθώς και οι μέθοδοι

επίλυσης των εξισώσεων αυτών.

Στο κεφάλαιο 7 πραγματοποιείται μια απλοποιημένη μαθηματική μοντελοποίηση των

πιατινιών, των μεμβρανών των κυλινδρικών τυμπάνων και των χορδών ακουστικής

κιθάρας. Σε αυτό το τμήμα της εργασίας παρουσιάζονται οι εξισώσεις που

περιγράφουν την δόνηση των παραπάνω τμημάτων των μουσικών οργάνων, καθώς

και οι μέθοδοι επίλυσής τους. Παράλληλα, πραγματοποιούνται προσομοιώσεις μέσω

του λογισμικού Mathematica.

Στο κεφάλαιο 8 παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά ενός ακουστικού κύματος και

υπολογίζονται τα χαρακτηριστικά των κυμάτων που προκύπτουν μέσω της

απλοποιημένης μαθηματικής μοντελοποίησης των πιατινιών, των μεμβρανών των

κυλινδρικών τυμπάνων και των χορδών ακουστικής κιθάρας.

Στο κεφάλαιο 9 παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά των ακουστικών κυμάτων που

προκύπτουν μέσω πειραματικών μετρήσεων, οι οποίες πραγματοποιούνται σε

στούντιο μουσικής. Στο κεφάλαιο 10 γίνεται σύγκριση των θεωρητικών και των

πειραματικών αποτελεσμάτων και παρατίθενται προτάσεις για μελλοντική εργασία.

The subject of this thesis is the mathematical modeling of acoustic waves resulting

from musical instruments.

The first objective of the thesis is to find equations that describe the movement of

each musical instrument and the way its sound is produced. The second objective is to

perform simulations of parts of the musical instruments, through the use of the

Mathematica software. The third objective of the thesis is to correlate the

characteristics of the vibration of the parts of the musical instruments with the

characteristics of the produced sound wave, as well as to compare the results

calculated through the relations in the bibliography, with the results stemming from

experimental measurements. The last objective is achieved by recording musical

instruments in a music studio.

Chapter 1 provides an introduction to the work. Chapters 2 and 3 of the thesis

describe the musical instruments that will be modeled and also present basic

mathematical concepts and methods that will be utilized during the modeling. In

chapters 4,5 and 6, the mathematical modeling of cymbals, cylindrical drums and the

acoustic guitar, and therefore the acoustic bass, is presented. In these chapters, the

equations that describe the specific musical instruments are presented, as well as the

methods for solving these equations.

In chapter 7, a simplified mathematical modeling of cymbals, cylindrical drum

membranes and acoustic guitar strings is applied. In this part of the work, the

equations that describe the vibration of the above parts of the musical instruments are

presented, as well as the methods for solving them. At the same time, simulations are

carried out using the Mathematica software.

In chapter 8, the characteristics of an acoustic wave are presented and the

characteristics of the waves that arise through simplified mathematical modeling of

cymbals, cylindrical drum membranes and acoustic guitar strings are calculated.

In chapter 9, the characteristics of the acoustic waves that arise through experimental

measurements are presented. These measurements are taken in a music studio. In

chapter 10, a comparison of theoretical and experimental results is made and

suggestions for future work are listed.