Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία μελετάμε τη λογιστική συνάρτηση, ένα μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει την υπό περιορισμούς ανάπτυξη πληθυσμών. Η μελέτη αναπτύσσεται σε δύο κύριες ενότητες: τη διακριτή και τη συνεχή εκδοχή του λογιστικού μοντέλου.

Στη διακριτή εκδοχή, εξετάζεται η λογιστική απεικόνιση x_n+1=λ (1-x_n)x_n, αναλύοντας τη δυναμική συμπεριφορά της. Διερευνώνται οι συνθήκες υπό τις οποίες το σύστημα οδηγείται σε σταθερά σημεία ή σε περιοδικές τροχιές. Αναδεικνύεται η χαοτική συμπεριφορά του για κάποιες τιμές του λ, παρουσιάζονται κάποιες εφαρμογές του (ως γεννήτρια τυχαίων αριθμών) και επιχειρούνται κάποιες γενικεύσεις του (από την πραγματική ευθεία στο μιγαδικό επίπεδο).

Αντίστοιχα, στη συνεχή εκδοχή, μελετάται η λογιστική συνάρτηση μέσω της διαφορικής εξίσωσης y'=κ(S-y)y. Εδώ, αναλύεται συμπεριφορά της λογιστικής συνάρτησης σε σχέση με τη φέρουσα ικανότητα (S) και τον ρυθμό ανάπτυξης (κ). Περιγράφεται η πορεία του δυναμικού συστήματος προς μια κατάσταση ισορροπίας, επιχειρείται η προσέγγισή της μέσω δυναμοσειρών ή σειρών εκθετικών και δίνονται οι μετασχηματισμοί Fourier και Laplace στα πλαίσια κάποιων προβλημάτων που την εμφανίζουν. Παρουσιάζονται εφαρμογές που την εμπεριέχουν, όπως το ανταγωνιστικό μοντέλο Lotka-Volterra ή το Bertalanffy-Richards, και δίνονται κάποιες γενικεύσεις της είτε εισάγοντας έναν ρυθμό σποράς-συγκομιδής, είτε στα πλαίσια των συναρτησιακών εξισώσεων.

In the present postgraduate thesis, we study the logistic function, a mathematical model that describes population growth under constraints. The study is developed in two main sections: the discrete and the continuous version of the logistic model.

In the discrete version, the logistic map x_n+1=λ (1-x_n)x_n is examined, analyzing its dynamic behavior. The conditions under which the system converges to fixed points or periodic orbits are investigated. The chaotic behavior of the system for certain values of λ is highlighted, some of its applications (as a random number generator) are presented, and certain generalizations are attempted (from the real line to the complex plane).

Similarly, in the continuous version, the logistic function is studied through the differential equation y' = κ(S - y)y. Here, the behavior of the logistic function is analyzed in relation to the carrying capacity (S) and the growth rate (κ). The evolution of the dynamical system toward an equilibrium state is described, and its approximation is attempted using power series or exponential series. The Fourier and Laplace transforms are given in the context of certain problems involving it. Applications that include it are presented, such as the competitive Lotka-Volterra model or the Bertalanffy-Richards model, and certain generalizations are given either by introducing a seeding-harvesting rate or within the framework of functional equations.