Η παρούσα εργασία εξετάζει τις σύνθετες κατανομές πιθανότητας, οι οποίες περιγράφουν την κατανομή του αθροίσματος ενός τυχαίου αριθμού ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών (δηλαδή τυχαίων μεταβλητών που έχουν την ίδια κατανομή πιθανότητας).Τέτοιες κατανομές είναι ιδιαίτερα χρήσιμες σε συστήματα, όπου τόσο η συχνότητα τωνγεγονότων όσο και τα μεγέθη τους μεταβάλλονται τυχαία. Περιγράφουν καταστάσεις που το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών δεν είναι σταθερό, αλλά ο ίδιος ο αριθμός των μεταβλητών καθορίζεται επίσης τυχαία από μία άλλη κατανομή πιθανότητας.
Αρχικά παρουσιάζονται βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων, όπως οι δεσμευμένες
πιθανότητες και οι δεσμευμένες κατανομές, οι οποίες είναι απαραίτητες για την κατανόηση των σύνθετων κατανομών. Στη συνέχεια εισάγεται η έννοια της σύνθετης κατανομής και εργαλεία όπως η ροπογεννήτρια συνάρτηση (MGF) και η πιθανογεννήτρια συνάρτηση (PGF), που βοηθούν στην μελέτη και ανάλυση των σύνθετων κατανομών. Κατόπιν εξετάζονται διάφορες προσεγγιστικές μέθοδοι για τον υπολογισμό αυτών των κατανομών, ιδιαίτερα όταν η ακριβής λύση δεν είναι δυνατή λόγω της πολυπλοκότητας των δεδομένων και των αλληλεπιδράσεών τους. Μεταξύ των μεθόδων περιλαμβάνονται η κανονική προσέγγιση (Normal Approximation), η μετατοπισμένη προσέγγιση Γάμμα (Translated Gamma Distribution), η δυναμοκανονική προσέγγιση (Normal Power Approximation) και η μέθοδος Panjer.
Τα αποτελέσματα της μελέτης δείχνουν ότι οι προσεγγιστικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για την ερμηνεία σύνθετων φαινομένων, βοηθώντας στη λήψη αποφάσεων. Τέλος, προτείνονται θέματα για μελλοντική έρευνα.

This thesis considers compound probability distributions, which describe the distribution of the sum of a random number of independent and identically distributed random variables. Such distributions are particularly useful in systems where both the frequency of events and their magnitudes vary randomly. They describe situations where the sum of the random variables is not constant, but the number of variables itself is also randomly determined by another probability distribution.
We first introduce basic concepts of probability theory, such as conditional probabilities and conditional distributions, which are essential for understanding compound distributions.Then the concept of compound distribution and tools such as the moment generating function (MGF) and the probability generating function (PGF) are introduced, which help in the study and analysis of compound distributions. Then we consider various approximate methods for computing these distributions, especially when an exact solution is not possible due to the complexity of the data and their interactions. Among the methods are the Normal Approximation, the Translated Gamma Approximation, the Normal Power Approximation and the Panjer method.
The results of the study show that the approximation methods used are particularly useful for the interpretation of complex phenomena, helping in decision making. Finally, topics for future research are suggested.