Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η βελτιστοποίηση του χαρτοφυλακίου ενός συνταξιοδοτικού πλάνου προκαθορισμένων εισφορών (DC) σε μια αγορά που φέρει εκτός από χρηματοοικονομικούς κινδύνους και τον κίνδυνο μακροζωίας, χρησιμοποιώντας στοχαστικές μεταβλητές και στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις.

Ειδικότερα, θα εστιάσουμε στο πώς, με τη χρήση δυναμικής βελτιστοποίησης (τη μέθοδο των martingales) επιλέγουμε το χαρτοφυλάκιο (portfolio) ενός συνταξιοδοτικού πλάνου (pension fund), έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί μια συνάρτηση χρησιμότητας του αποθεματικού που απομένει τη στιγμή του θανάτου ενός συνταξιούχου στο πλάνο.

Λόγω έλλειψης κατάλληλων δεδομένων θνησιμότητας για την Ελληνική αγορά, επικεντρώνουμε την ανάλυσή μας στις ΗΠΑ, χρησιμοποιώντας για τη μοντελοποίηση των μεταβλητών ενδιαφέροντος, τα υποδείγματα CIR και Vasicek.

Ξεκινάμε την ανάλυσή μας με την ανάπτυξη ενός μοντέλου που περιγράφεται από ένα σύστημα στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων, ακολουθούμενο από τη διακριτοποίηση και τη βαθμονόμησή τους. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το, θα πραγματοποιήσουμε προσομοιώσεις και θα εκτιμήσουμε, παράλληλα με άλλες μεταβλητές, το βέλτιστο χαρτοφυλάκιο καθώς και το βέλτιστο αποθεματικό του συνταξιοδοτικού πλάνου.

Τέλος, θα ολοκληρώσουμε την εργασία μας αναφέροντας κάποια βασικά συμπεράσματά της και προτείνοντας κατάλληλες κατευθύνσεις για μελλοντική έρευνα.

The aim of this dissertation is the analysis of Defined Contributions (DC) pension fund schemes in a market bearing financial as long as longevity risks, using stochastic variables and stochastic differential equations.

In particular, we will focus on how, using dynamic optimization (the method of martingales), a pension fund manager, in order to maximize a utility function of the remaining reserve at the time of the pensioner's death, should constantly monitor and control the wealth and the portfolio of the fund.

Due to lack of suitable force of mortality time-series for the Greek market, we will concentrate our analysis on the USA. In addition, in order to model the dynamics of the stochastic variables in question, we will use both CIR and Vasicek SDEs.

We will start our analysis with the development of a suitable framework described by an adequate system of SDEs, followed by their discretization and calibration. Subsequently, by using this model we will conduct simulations and estimate, alongside other variables, the fund’s optimal wealth and portfolio.

We will conclude our thesis drawing some conclusions on the use of CIR and Vasicek models with the utility function and optimization method in question and we will postulate suggestions for future work.