Οι ανανεωτικές ανελίξεις είναι μια κατηγορία των στοχαστικών ανελίξεων οι οποίες χρησιμοποιούνται σε μαθηματικά μοντέλα συστημάτων. Πιο συγκεκριμένα μετρούν τα διαδοχικά γεγονότα που συνέβησαν μέχρι κάποια χρονική στιγμή. Οι χρόνοι μεταξύ των γεγονότων αυτών είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές οι οποίες ακολουθούν την ίδια κατανομή. Η ανανεωτική θεωρία προήλθε από τον Alfred Lotka μέσω μελέτης πληθυσμών και γενικότερα δημογραφικών προβλημάτων. Σχετίζεται με μια συλλογή αντικειμένων που δημιουργούνται (γέννηση) και εξαλείφονται (θάνατος) όπως για παράδειγμα τα εξαρτήματα μιας συσκευής. Στην εργασία παρουσιάζεται η ιστορική αναδρομή δίνοντας έμφαση στα γεγονότα και στις συνθήκες που ώθησαν τους επιστήμονες του 20^ου αιώνα να ασχοληθούν και να θεμελιώσουν αυτές τις έννοιες. Μια από αυτές οι έννοιες, η ανανεωτική συνάρτηση έχει εξέχουσα θέση σε αυτή την εργασία. Ο υπολογισμός της δεν είναι πάντα εφικτός και η εύρεσή της επηρεάζεται από τη κατανομή που ακολουθούν οι ενδιάμεσοι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών γεγονότων. Γι’ αυτό το λόγο έγινε αναζήτηση διαφόρων προσεγγιστικών συναρτήσεων με αποτέλεσμα να παρουσιαστούν 15 προσεγγίσεις. Από αυτές κάποιες είχαν εξαιρετικά ακριβή αποτελέσματα και άλλες οι οποίες είχαν είτε καλή εφαρμογή για ορισμένο χρόνο είτε καθόλου. Παρουσιάστηκαν τα σχετικά σφάλματα σε πέντε διαφορετικές κατανομές και συνολικά δεκατρία παραδείγματα με διαφορετικές τιμές παραμέτρων. Η ενασχόληση με τις μεθόδους προσέγγισης έδωσε το έναυσμα να προταθεί σε αυτή την εργασία, μια νέα προσέγγιση της ανανεωτικής συνάρτησης της κατανομής Weibull και να αναδειχθεί η ακρίβεια των αποτελεσμάτων της. Όσον αφορά τη θεωρία αξιοπιστίας, παρουσιάστηκε και πάλι το ιστορικό πλαίσιο του όρου. Υπήρξαν αρκετά, σημαντικά και ευρέως γνωστά γεγονότα που σχετίζονται άρρηκτα με την αξιοπιστία και γι’ αυτό το λόγο η ιστορική της εξέλιξη παρουσιάζει εξαιρετικό ενδιαφέρον. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι βασικοί άξονες της αξιοπιστίας και ακολουθείται το καθαρά μαθηματικό πλαίσιο όπου αναφέρονται οι βασικές έννοιες. Τέλος γίνεται η περιγραφή ενός παραμετρικού μοντέλου του Asadi (2023), που αφορά το μέσο αριθμό επιδιορθώσεων σε ένα σύστημα και γίνεται η κατάλληλη σύνδεση με την ανανεωτική συνάρτηση. Έχοντας το μοντέλο αυτό ως βάση, ορίστηκε μια νέα μέθοδος για εύρεση προσέγγισης της ανανεωτικής συνάρτησης, αυτή τη φορά για τη κατανομή Pareto με αρκετά καλή ακρίβεια.

Renewal processes are a class of stochastic processes used in mathematical modeling of systems. More specifically, they count the consecutive events that happened up to a certain point in time. The times between these events are independent random variables that follow the same distribution. Renewal theory originated from Alfred Lotka through the study of populations and demographic problems in general. It relates to a collection of objects that are created (birth) and destroyed (death) such as the components of a device. This thesis presents the historical retrospective emphasizing the events and conditions that prompted the scientists of the 20th century to deal with and establish these theories. One of these is the renewal function, which features prominently in this thesis. Its calculation is not always possible, and its finding is affected by the distribution followed by the intermediate times between successive events. For this reason, a search was made for various approximating functions, resulting in 15 approximations that are being presented. Among these some had extremely accurate results and others which had either good application for a certain time or not at all. The relative errors in five different distributions and a total of thirteen examples with different parameter values are presented. The preoccupation with approximation methods gave the impetus to propose in this thesis, a new approximation of the renewal function of the Weibull distribution and to highlight the accuracy of its results. Regarding reliability theory, the historical context of the term was again presented. There have been several, important and well-known events that are inextricably related to reliability and for this reason its historical development is of great interest. Then the main axes of reliability are presented, and the purely mathematical framework is followed where the basic concepts are mentioned. Finally, a parametric model of Asadi (2023) is presented, which concerns the average number of repairs in a system and the appropriate connection with the renewal function is made. With this model as a basis, a new method was defined for finding an approximation of the renewal function, this time for the Pareto distribution with reasonably good accuracy.